Алгебраические системы - Мальцев А.И.
Скачать (прямая ссылка):
Если полугруппа @ изоморфна подполугруппе полугруппы то говорят также, что @ изоморфно вложима в Таким образом, всякая полугруппа @ изоморфно вложима в некоторую симметрическую полугруппу.§3] ГРУППОИДЫ И ГРУППЫ
91
Рассмотрим, другие примеры изоморфной вложимости полугрупп. Пусть А — произвольное непустое множество и G — совокупность всех непустых подмножеств множества А. Операцию умножения в G определим формулой
ху = х(] у (х, у 6 G).
Ясно, что. (G, ¦ ) есть коммутативная идемпотентная полугруппа. Она называется полугруппой подмножеств множества А (с операцией пересечения).
¦Теорема 2. Всякая коммутативная идемпотентная полугруппа її = {А, •) изоморфно вложима в полугруппу подмножеств множества А.
Для каждого элемента а из її положим
«а = {Ь 6 А I (Зж) ах = Ь}.
В силу коммутативности умножения имеем
<*аъ = {с 6 А I (Зж) аЪх = 4saafl аь.
Обратно, если элемент d принадлежит пересечению aa П «ь» то существуют такие элементы х, у в А, что ах ~ d и by = d. В силу коммутативности и идемпотентности полугруппы її равенство ах = by дает abx = by = d, откуда d 6 ааъ- Таким образом, aab = аа[)а,ъ, т. е. соответствие а aa есть гомоморфизм полугруппы її в полугруппу подмножеств множества А.
Пусть аа = аь. Так как bb = b, то b ? a& = аа. Поэтому существует элемент X Q А такой, что ах = Ъ. Аналогично существует элемент у Q А, для которого by = = а. Отсюда а = аху, b = Ьху. Получаем
а = аху = by-xy = Ьху = Ь.
Поэтому гомоморфизм а aa является в действительности изоморфизмом.
Рассмотрим полугруппу 3 с основным множеством {О, 1} и операцией умножения, заданной таблицей
0 1
0 0 0
1 0 1
В качестве простого следствия из теоремы 2 докажем следующее утверждение.92
^КЛАССИЧЕСКИЕ АЛГЕБРІ
ІГл. II
Следствие. Всякая коммутативная идемпотент-ная полугруппа изоморфно вложима в подходящую декартову степень полугруппы 3-
В силу теоремы 2 моніно предположить, что St есть полугруппа подмножеств множества А. Элементы множества А будем обозначать малыми латинскими буквами a, b, . . ., а элементы полугруппы й, являющиеся подмножествами множества А,— малыми греческими буквами а, ?, ... Каждому элементу а 6 А поставим в соответствие экземпляр За полугруппы 3 и образуем декартово произведение
®= ПЗа.
а?А
Его элементами служат функции / (а) из А в множество {О, 1} (см. п. 2.5). Каждому множеству a ^ А отвечает характеристическая функция а (а), принимающая значение 1 при а ? а и значение О при а $ а. Соответствие а а (а) определяет отображение 21 в Так как пересечению а П ? подмножеств а, ? множества А отвечает, очевидно, произведение функций а (a)-? (а) в то указанное соответствие есть гомоморфизм І в Ф. Однако равенство характеристических функций влечет равенство соответствующих им подмножеств, и поэтому построенный гомоморфизм 21 в Ф является в действительности изоморфизмом.
Полугруппа @ = (G, ¦, е) с выделенной (или главной) единицей е (см. п. 2.2) называется моноидом. Не следует смешивать моноид с полугруппой, в которой имеется единица, так как подалгебра полугруппы с единицей может не иметь единицы, а подалгебра моноида всегда является полугруппой с единицей.
Полугруппы с одним порождающим элементом, называемые циклическими или моногенными, легко классифицируются.
Пусть а — порождающий элемент циклической полугруппы 21. Все элементы 21 содержатся в последовательности а, а2, а3, ... Допустим сначала, что в этой последовательности имеются два одинаковых члена а1 = а1 ( і <С ])¦ Пусть п — наименьшее среди тех чисел /, для которых при некотором г, і <С j, имеет место равенство Ot = а1. Далее, через т обозначим наименьшее щз чис^л ггГРУЙПОЙДЫ И ГРУППЫ
93
для которых йг = ап. Числа то, п называются показателями циклической полугруппы 2С, отвечающими порождав ющему элементу а. Если же все члены последовательности а, а2, а3, ... различны, то полагаем по определению т = п = 1.
Пару целых положительных чисел (т, п) назовем парой показателей циклической полугруппы §1, если т и п являются показателями для какого-нибудь порождающего элемента.
Теорема 3. Каждая пара целых положительных чисел (1, 1), (т, п) (т <С п\ т, п — 1, 2, . . .) является парой показателей одной и, с точностью до изоморфизма, только одной циклической полугруппы.
Действительно, пара (1, 1) является парой показателей для мультипликативной полугруппы чисел вида 2k (к = 1, 2, . . .) относительно порождающего элемента 2.
Рассмотрим пару (то, п), где 1 ^ т < п. Для произвольного целого числа к ^ 1 положим
/ (к) — min (ік, т rest (к — то, п — то)),
где rest (х, у) означает остаток от деления х на у. Легко проверить, что / (к) совпадает с числом к при к <С п и / (к) =то + rest (к — то, п — то) при к ^ п. Принимая для остатка rest (х, п — то) сокращенную запись г (х), покажем, что
/ {к + / (/)) = / (A + 7) (1)
для любых целых положительных чисел /.
Заметим сначала, что при к п имеет место сравнение
/ (к)== к (mod (п — т)).
Если / то /(/)=/ и равенство (1) очевидно. Поэтому мы предположим, что />ге.