Алгебраические системы - Мальцев А.И.
Скачать (прямая ссылка):
есть изоморфизм поля рациональных дробей P (X) на расширение P (S). Поэтому алгебраически независимые элементы над полем P ведут себя так же, как и соответствующие им неизвестные.
Расширение P (S) поля Р, получающееся присоединением произвольного множества алгебраически независимых над P элементов, называется чисто трансцендентным расширением ноля Р.
Теорема Штейница. Каждое расширение Ш поля P является алгебраическим расширением некоторого чисто трансцендентного расширения К поля Р.
Действительно, пусть K = P (Sm3lX), где Smax — некоторая максимальная алгебраически независимая над P система элементов из ffi. По определению К есть чисто трансцендентное расширение поля Р. Если v ? Я, то система элементов {v, Smax} не является алгебраически независимой над Р, и поэтому существует такой ненулевой многочлен / (х\, . . ., хп+і) от неизвестных Xi, . • ., хп+1 118
^КЛАССИЧЕСКИЕ АЛГЕБРІ
ІГл. II
с коэффициентами из Р, что
/ (V, щ, Un) = О
для некоторых щ, . . ., ип ъз Smax. Записывая многочлен / по убывающим степеням и, будем иметь
а0 (и) vm + O1 (и) ит-1 + ... + ат (и) О,
где аг (и) = аг (It1, . . ., ц4) f ^ (г = О, 1, . . ., т). Так как элементы из IS1max алгебраически независимы над Р, то степень многочлена / относительно Xi отлична от нуля. Таким образом, элемент v алгебраичен над К.
Пусть — произвольное поле и P — простое его подполе. Степень трансцендентности поля SjS относительно P называется просто степенью трансцендентности поля
Следствие 1. Все алгебраически замкнутые поля фиксированной характеристики к и данной степени трансцендентности t изоморфны между собой.
Действительно, пусть ^jS и 5jS' — произвольные алгебраически замкнутые поля характеристики % и степени трансцендентности t. Можно считать, что они являются расширениями одного и того же простого поля Р. По теореме Штейница 5jS и 5j3' будут алгебраически замкнутыми алгебраическими расширениями одного и того же чисто трансцендентного расширения P (S) поля Р, где | S | = = t. По теореме единственности ?jS и ^jS' изоморфны.
Следствие 2. Все алгебраически замкнутые поля фиксированной характеристики и, имеющие фиксированную несчетную бесконечную мощность ш, изоморфны.
В самом деле, пусть — произвольное алгебраически замкнутое поле характеристики к и степени трансцендентности t, имеющее МОЩНОСТЬ Ш >- No- Простое подполе поля обозначим через Р. Выберем какую-нибудь максимальную алгебраически независимую над P систему элементов iSmax и присоединим ее к Р. Полученное расширение обозначим Т. Каждый элемент v из ^jS является корнем многочлена с коэффициентами из поля Т. Поэтому
Ш < I T [х] I < I T I + I T I2 + I T I3 +
По условию мощность поля SjS бесконечна и несчетна. Следовательно, мощность | T | поля T должна быть беско- КОЛЬЦА И ТЕЛА
119
нечяой. Но в таком случае | Г | + | Г |2 + . . . = | Г | (см. примеры и дополнения к § 2, доп. 3). Таким образом, in = I T |. С другой стороны, нетрудно подсчитать, что I T 1 = t. Таким образом, t = ш, и следствие 2 доказано.
4.3. Альтернативные тела. Элемент а кольца St называется вполне обратимым, если в St существует такой элемент сг1, называемый вполне обратным для а, что
а'1 (ах) = (ха) аг1 = х
для любого элемента х из SL
Теорема 1. Если все ненулевые элементы произвольного кольца й с единицей е вполне обратимы, то кольцо St является альтернативным телом.
Действительно, если ab = 0, а ф 0 (a, b f Й), то а'1 (ab) = b — 0. Аналогично, если ab = 0, b Ф 0, то (ab) b~l = а = 0. Таким образом, St не содержит делителей нуля и, будучи кольцом с делением и с единицей, является телом.
Полагая для произвольных ненулевых элементов а, Ъ из St X = (ab)'1, получим х~х = ab, x^b'1 = а, откуда ха = X (аг1^-1) = &-1, т. е. в St имеет место обычное правило обращения произведения: (ab)'1 =
Пользуясь этим правилом, докажем альтернативный закон
ab-а = a-ba. (1)
Можно сразу же предположить, что а Ф 0, b Ф 0 и b Ф а'1. Имеем:
a - a (ba) = (b'1 - a)-ba = [a-^-(b'1 - а)"1]-1 = = \(е + a'1 (b-1 - а)) (Ъ-1 - а)'1]-1 =
= [(b-1 - а)-1 + а-1)-1.
G другой стороны, а - (ab) а = ab-ф-1 — a) = [(b'1 - а)'1 ¦ ^1a-1Y1 = = [(Zr1 - а)'1 (е + (b-1 - а) а-1)]'1 =
= Kb-1 - а)'1 + а'1]'1.
Таким образом, а — a (ba) = а — (ab) а, и поэтому a-ba — ab-а. 120
^КЛАССИЧЕСКИЕ АЛГЕБРІ
ІГл. II
Из равенств (аЬ-а_1)д = а(Ьагг¦ а) •= (a-bw^a в силу отсутствия делителей нуля следует тождество
ab-аг1 = a-ba(2)
Доказательство альтернативного закона а-ab = a2b проводится следующим образом. Пусть а Ф 0, b Ф 0, b Ф — а'1. На основании (1) приравниваем выражения
(Ь + а-1) {Ь~Ч)-{Ь + а"1) = (а + а^-Ь'Ч) (Ъ -f а"1) =
= ab + («г1-Zr1O) Ь + е + в"1*»"1, (b + arl)-(b-la) {b + а-1) = (6 + а"1) (b~4-b + b~l) =
= ab + е + а-1 (&_1а- b) + а"1*»"1.
Получаем
аг1 [Ъ-Ч-Ъ) = {a~l-b~1a)b. (3)
Заменяя здесь а на (а -J- Ь-1)-1, Ь на а и учитывая (2), будем иметь
[а + b'1) la-1 (a + b'^-a] =
= (а + Ъ-1) [(а2 + Ъ'ЧуЧ] = = (а + &-1) (а +.«Г1*»-1«!)-1 = = а (a + а-Ч-Ч)-1 + Zr1 (а + агЧ^а)-1 = = [е + {аг1Ъ-Ч) а-1}-1 + [ab + {а'^Ч) ЪУ1 -
