Алгебраические системы - Мальцев А.И.
Скачать (прямая ссылка):
= (е + а-1«»"1)-1 + [ab + {аг1Ъ-Ч) ЬН; (a + b-1) (a'1 (a + b^y^-a =
= (а + Ъ-1) (а2 + Ъ-Ч)-1^ = = [а (а2 + Ь-ЧУ1 + Ь-1 (а2 + Ь~Ч)-Ц а = = [(а + Ь-1)"1 + + Ъ-Ч-Ъу1 ] а =
= (е + а-Ч-1)-1 + [a-^atb + a-1 (JrVb)H. Отсюда получаем
ab + a~1b~1a- b = OT1-Ofib + а-1 (Ь~га-Ь).
В силу (3) ab = а~г-а2Ь, т. е. д-аЬ = а2??. Справедлива и обратная
Теорема 2. Альтернативное кольцо Й с делением и без делителей нуля содержит единицу, и все ненулевые элементы его вполне обратимщ. КОЛЬЦА И ТЕЛА
121
Вычисляя ассоциатор \х + У, х у, z] и принимая во внимание, что он равен нулю в кольце Я, получим
\х, у, z] = — [у, X, г].
Аналогично [х, у, z] = — Ix, z, у], [х, у, z] = — [z, у, х]. Таким образом, в альтернативном кольце ассоциатор меняет знак при перестановке любой пары своих аргументов.
Переходя к явной записи ассоциаторов, легко доказать следующее тождество в произвольном кольце:
[ху, z, и] — [х, yz, и] 4- \х, у, zu] =
= X [у, Z, и] + [х, у, Z] и. (4)
Используя это тождество, покажем, что в альтернативном кольце для любых элементов a, b, X имеет место равенство
[а, Ьа, х] = а [а, Ъ, х\. (5)
Действительно, заменяя в (4) х и z на а, у на Ъ и и на х, получим
[ab, а, х] — [a, ba, х] + [я, b, ах] = а [Ь, а, х], так как [а, Ъ, а] — 0. Отсюда находим
[а, Ьа, х] — a [a, b, х] -j- [a, b, ах] — \а, ab, х]. (6) Заменяя в (4) х и у на a, z на b и и на х, получим [а2, Ь, х] — [а, ab, х] = а [а, Ь, х],
откуда
[а, ab, х] = [а2, Ъ, х] — а [а, Ь, х\. Подставляя это выражение для [а, ab, х] в (6), получим [я, ba, х] = 2а [я, b, х] + [я, b, ах] — [а2, Ь, х\. (7)
Заменяя в (4) х и у на a, z на х и и на Ь, будем иметь
[а2, X, Ъ] — \а, ах, fc] = а [я, х, Ь], 122
^КЛАССИЧЕСКИЕ АЛГЕБРІ
ІГл. II
т. е. [a, Ъ, ах] — [а2, Ь, х] = — а [я, Ъ, х]. Подставляя это выражение в (7), получим (5).
Пусть теперь а ? Я1, а Ф 0. По условию существует такой элемент е ? что ае = а. Отсюда аа = ае-а = = а еа и, сократив на а слева, получим а = еа. Ввиду (5) для любого элемента х ? Я имеет место равенство
[а, еа, х\ = а Iа, е, х],
откуда \а, е, х] = 0, т. е. ах = а-ех, и поэтому х — ex. Из (5) получаем также \х, ex, а] = х [х, е, а], откуда X \х, е, а] = 0. При X Ф 0 будем иметь хе-а = х-еа — ха, т. е. хе — х. Итак, е — единица кольца Я.
Для каждого элемента 0 Ф а ? Я найдется по условию такой элемент а_1, что асг1 = е. Будем иметь также
ае = aar1-а = а-а~1а, откуда а~*а = е. Далее в силу (5)
0 = [а-1, аах\ = а'1 [а"1, а, х],
откуда [й-1, а, х] = 0, т. е. а'1 (ах) = х. Поскольку [х, а, а'1] = — [а"\ а, х] = 0, то также (ха) а"1 = х. Следовательно, любой ненулевой элемент а из S? вполне обратим, и теорема 2 доказана.
Пример альтернативного неассоциативного тела будет рассмотрен в следующем пункте.
4.4. Линейные алгебры. Пусть — поле, элементы которого будут обозначаться малыми греческими буквами а, ?, у, . . ., a единичный элемент — буквой є. Линейной алгеброй над полем называется кольцо Й, в котором для каждого элемента а из ^ определена унарная операция соа так, что в S имеют место тождества:
5) (оа (х + у) = (оа (х) + соа (у),
6) (Oa(х) = (оа (х) + COp (х),
7) (х) = toa (top (г)),
8) COe (ж) = х,
9) Cocc (ху) = (соа (х)) у — X ((Oa (у)) (х, у ?2). Таким образом, линейная алгебра над полем является универсальной алгеброй с главными операциями: х + у, —X, ху, соа (х) (а ? связанными на основном множестве тождествами 1) — 4) из п. 4.1 и только что перечислен- КОЛЬЦА И ТЕЛА
123
ными тождествами 5)—9). Относительно операций х + У, —х, и>а (ж) (а ? S?) алгебра S над полем S? является линейным пространством, в котором
ах = а)а (ж) (х ??, a^S?).
Если размерность этого линейного пространства конечна, то алгебра ? называется конечной над Sp.
Пусть . . ., ап — какая-либо база конечной алгебры й над S?. Произведения CiiCLj1 являясь элементами й, должны выражаться линейно через базу. Поэтому в S имеют место соотношения вида
ataj = ViyiflI + YU2«2+ ••• jTyiinO-V, (і, / = 1, ...,и). (1)
Коэффициенты Yij-ft, число которых равно /г3, называются структурными константами алгебры S в базе ... . . ., ап. Эти константы зависят от выбора базы, но полностью определяют умножение в алгебре S.
Пусть заданы п3 элементов yijh из поля занумерованные тройками натуральных чисел г, к, каждое из которых принимает значения 1, . . ., п. Возьмем произвольные неизвестные <?i, . . ., еп и обозначим через S линейное пространство всех линейных форм OC1^1 + • • • . . . + апед от еь ..., еп с коэффициентами из Вводя для элементов S операцию умножения формулой
^ater^?jej= 2 oci?jyijkek, і, j, h
мы обратим S в линейную алгебру над полем S? со структурными константами yijk- Таким образом, произвольную систему из п3 элементов yijk можно считать системой структурных констант подходящей линейной алгебры.
Совокупность соотношений (1) называется таблицей умножения базы atl . . ., ап.
Если алгебра S содержит единицу е, то элементы ае (а ? $?) образуют подалгебру, изоморфную алгебре $?. В этом случае, отождествляя элемент ае с элементом а для каждого a Q 5?, получим вложение поля S? в качестве подалгебры в алгебру S.
