Алгебраические системы - Мальцев А.И.
Скачать (прямая ссылка):
Довольно часто множеством индексов служит натуральный ряд N. В этом случае функция / вполне определяется последовательностью своих значений
/(0), /(1), . . / (А), ... (3)
и потому может быть отождествлена с этой последовательностью.
До сих пор. шла речь лишь о декартовом произведении D = Д Ma основных множеств Ma алгебраических систем 9У1«. Теперь мы определим на D операции F^ и предикаты Pn и обратим D в алгебраическую систему Ф = = {D, {/%}) (I < |х, ц < v) того же типа, что
и заданные системы SUfa.
Пусть fi, ..., /Пт1—какие-либо элементы из D. По оп-ределению полагаем
Лі (/і. •••> Ws= 72
0БЩЇЇЕ ПОНЯТИЯ
[Гл. 1
тогда и только тогда, когда для каждого а ? А
- ..,Zntl И)= Я.
Аналогично значением Fі (Д, ..., /т|) называем элемент f?D, определяемый условиями
I(V) = F1Pifi(V), ...,/m6(a)) (аЄ Л).
Алгебраическая система ф = (?>, {-Fg}, {Рг|}>, построенная указанным способом, называется декартовым произведением систем SJlc6 по множеству индексов А и обозначается так же, как и декартово произведение множеств:
П з»«, ГІ5Ш« (v?A), Пт*.
а?Л
Если множество индексов А состоит лишь из чисел 1,2,.. ., к, то декартово произведение [] 2JI« часто записывается в виде SJl1 X ... X 30??, а его элементы отождествляются с последовательностями (c1, . . ., с^} (сг? ЯЛг). Аналогичной записью пользуются и в случае, когда множеством индексов служит совокупность всех натуральных чисел.
Поясним указанные определения на следующих примерах. Обозначим через SJl1 и SJl2 одну и ту же систему (N, и рассмотрим прямое произведение ф =
= SJl1 X SJl2- Элементами этого произведения являются пары (а, Ъ) натуральных чисел. Сложение пар в eS) определяется формулой
(а, Ъ) + (с, d) = (а + с, Ь + d), а отношение ^ для пар определяется условием
(а, Ъ) < (с, d) а <с и В частности, имеем
(1,3) <(1,4), (1,3) <(2, 5),
(1,3)^(2,1), (2,1)^(1,3). МОДЕЛИ И АЛГЕВРЬЇ
73
Аналогично,, пусть SfJii (i = 0, 1, 2, . . .) обозначают одну и ту же модель (JV, Ч), где 7 есть предикат «быть четным числом». Элементами прямого произведения ® = = 0 будут бесконечные последовательности а = = (ао, oi, • • ?ft, • • •) натуральных чисел, причем последовательность будет «четной», т. е. Ч (а) = И, тогда и только тогда, когда все ее члены четны.
Рассмотрим снова произвольное декартово произведение .$> =IlSJi а каких-нибудь алгебраических систем SJla (a ? А). Для каждого фиксированного а ? А отображение як: f -у f (а) (/ ? D) есть отображение D на Mn. Из определения декартова произведения непосредственно видно, что я„ — гомоморфизм % на SJia. Гомоморфизм па называется проектированием Ъ на SJia.
Система гомоморфизмов 6а (а ? А) какой-нибудь алгебраической системы SJi в алгебраические системы SJia называется полной, если при помощи этих гомоморфизмов можно различить любые два различные элемента в 93І. Это означает, что для любых а, Ъ из SJi из истинности равенства а6а = Ь8а для каждого a ? А следует а = Ъ.
Теорема 1. Пусть задано отображение a SJict совокупности А на некоторое множество (SJia } однотипных алгебраических систем. Декартово произведение ® = П и проектирования яа: Ъ SOia обладают следующими свойствами:
а) Система проектирований па полная.
б) Если для произвольной алгебраической системы SJi, однотипной Рис. 1. с системами SJia, заданы какие-то
гомоморфизмы Sa системы SJi в SJia, то найдется гомоморфизм б системы SJi в систему ® (рис. 1), удовлетворяющий для каждого а равенству oa = 6яа.
Утверждение а) очевидно. Действительно, для а, Ъ ? D равенства йяа = Ьпа означают, что для каждого а ? А имеем a (a) = b (а), а это и значит, что а = Ь.
Докажем утверждение б). Для произвольного т ? SJl определяем на А функцию тб, полагая по определение
(a) = m6a (a ^A). 74
ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ
[Гл. Г
Так как бЖх, то отображение т тЬ есть отображение 30? в tS). Ясно, что оно удовлетворяет требованиям 6« = бяа. Остается убедиться, что б — гомоморфизм. Пусть P — какой-нибудь главный предикат арности п, и пусть P ((I1, . . ап) = И для некоторых A1, .•-. ., ап из SOl. Тогда P (?ioa, . . ., anoa) = И для каждого a E А, •и потому P (ауЬ, . . ., ап8) = И в силу определения декартова произведения. Аналогично проверяется истинность условий гомоморфизма и для главных операций.
Важный факт состоит в том, что теорема 1 допускает следующее обращение:
Теорема 2. Пусть задано отображение а -у 9Ла некоторой совокупности индексов А на множество {931а} однотипных алгебраических систем, и пусть задана система гомоморфизмов ка некоторой алгебраической системы 3? на системы 5Ша, удовлетворяющая требованиям', а) Система гомоморфизмов ка (а QA) полная. ?) Если для произвольной алгебраической системы 3ER, однотипной с системами Sftct, заданы какие-то гомоморфизмы Sct системы ЗЛ в , то найдется гомоморфизм б системы Ж в систему такой, что Ьа = бха для всех a Q А (ср. рис. 1). ' 3
Тогда существует изоморфизм у системы 9? на ® = при котором гомоморфизмы Ka переходят в проектирования яа, т. е. для которого ка .= ^ftcc (a Q А).
