Алгебраические системы - Мальцев А.И.
Скачать (прямая ссылка):
SI1 = ({1, 2, 3, . . .}; +).
Отображение ф: аф = 2а является изоморфным отображением SI1 на свою подалгебру {2, 4, 6, . . .}, и потому цепочка изоморфизмов
ЯіДЯіДЯіД... (3)
образует прямой спектр. Какая же алгебра является пределом этого спектра? Чтобы отличать элементы алгебры
*) В действительности спектр вида (2) представляет собой простейший случай прямого спектра.. —Прим. ред.60
ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ
[Гл. I
SI1, находящейся на n-м месте в цепочке (3) от элементов алгебр, находящихся на других местах, условимся обозначать элементы п-й алгебры Sti парами (п, 1), (п, 2), . . . В соответствии с изоморфизмом ф пары (п, і) и (п -f- 1, 2г) в предельной алгебре должны обозначать один и тот же элемент. Это и дает ключ к построению предельной алгебры St. Рассматриваем множество А пар (i, j) (і, j = = 1, 2, . . .). Пары (і, j), (і + к, 2kj) называем эквивалентными. Суммой пар (а, Ъ) и (с, d) называем пару (іа + с, 2СЪ + 2ad) и любую ей эквивалентную пару. Получившаяся алгебра с основным множеством А/~, где через ~ обозначена указанная эквивалентность, и есть искомая предельная алгебра. Эта предельная алгебра резко отличается по своим свойствам от исходной алгебры. Например, в предельной алгебре уравнение х + х = и разрешимо для любого заданного элемента и = (а, Ъ). Решением будет служить X = (a -f- 1, Ъ), так как
(а + 1, Ь) + (а + 1, Ъ) ~ {а + 1, 26) — (а, Ъ).
Отсюда, в частности, следует, что предельная алгебра St не изоморфна исходной алгебре St1. Действительно, если бы существовал изоморфизм т алгебры St на алгебру St1, то жз х х = и в % следовало бы равенство хх + + XX — их в SI1. Поэтому для любого заданного элемента a Q SI1, найдя решение х уравнения х + х = ат-1 в Si, мы нашли бы и решение у = хх уравнения у + у = а в алгебре St1. Так как в алгебре SI1 уравнение у + У = 1 заведомо не имеет решений, то алгебры St и SI1 не изоморфны.
В качестве отображения т выше бралось отображение а% = 2а. Если вместо этого взять отобра?кение ах = За, то в предельной алгебре будет для каждого а разрешимо уравнение ж + ж + ж = 0ит. д.
2.4. Конгруенции. С каждым отображением ф множества^. на множество В связано отношение эквивалентности сГф на множестве А, называемое ядерной эквивалентностью и определяемое формулой (см. п. 1.4)
хо<$ <=> Жф = г/ф (х, у ? А).
Ставя каждому элементу z ? В в соответствие его полный прообраз гф-1 в А, получим каноническиеМОДЕЛІ! Й АЛГЁЁРМ
61
взаимно однозначные отображения
B-* А/о, А/о -»- В.
Допустим теперь, что А, В — основные множества однотипных алгебраических систем ЭД, 35 и отображение Ф — гомоморфизм ЭД на 33. Какими дополнительными свойствами в этом случае обладает ядерная эквивалентность сГф? Чтобы ответить на этот вопрос, нам придется ввести несколько новых понятий, играющих важную роль во многих разделах алгебры.
Отношение P (X1, . . ., хп) на множестве А называется стабильным относительно т-арной операции F, определенной на этом множестве, если для любых элементов an, а[2, . . аіп (і = 1, 2, . . ., т) множества А из истинности отношений
P (atl, otj2, . . ., ain) (і = 1, 2, . . ., m) вытекает истинность отношения
P (F (ац, . . ., атi), . . ., F (aln, . . .,
^mn))'
Отношение P называется стабильным на алгебраической системе Sf, если оно стабильно относительно каждой главной операции системы 21.
В частности, бинарное отношение о на множестве А называется стабильным относительно определенной на этом множестве операции F, если для любых элементов аи а[, . . ,, ат, множества А, связанных соотношениями
а, = а[ (а), а2 = а; (а),
ат = а'т (а),
истинно соотношение
F (аи ...,Om) == F ...,а'т) (а). (2)
Из этих определений, например, следует, что тождественно ложные и тождественно истинные отношения на А являются стабильными относительно произвольной операции, определенной на А.62
0БЩЇЇЕ ПОНЯТИЯ
[Гл. 1
Эквивалентность а, определенная на некоторой алгебраической системе Ш, называется конгруенцией на системе 21, если о стабильна относительно каждой главной операции системы 21.
Пусть на системе 21 = (А, {PJ, (Pri)) (? < а, ц < ?) задана какая-либо конгруенция о. Мы хотим обратить совокупность А/о всех смежных классов А по о (см. п. 1.4) в алгебраическую систему, однотипную с системой 21. Для этого нам надо на совокупности AIg определить операции F\ и предикаты Pn. Для каждого а ? А через [а\а обозначаем смежный класс, содержащий о, т, е. совокупность всех элементов из А, сравнимых с а по а. Для любых oj, . . ., ami из А полагаем по определению
Ц Ua1L, . ¦ •, IamsU = [F1 (аи ..., am|)]ff. (3)
Если [?fe]a = [afe]ff (? = 1, • ¦ щ), то элементы au, a'h удовлетворяют сравнениям (1), и потому вследствие (2) имеем
Fi (KU . - -, [вЦ]о) = Ц ([Olla, ¦ • • , Iam6la).
Это означает, что операции Pf, определенные на AIg соотношением (3), однозначные.
Далее, для произвольных классов Ia1Ia.....[йп]0 из AIg
отношение Рц (Ia1J0, . .., [йПт)1а) полагаем истинным, если в классах [at ]a, . ..,[an ]<, найдутся такие элементы a'k = au (a), для которых Pn (a'v . .., а'п ) истинно в системе 21.