Алгебраические системы - Мальцев А.И.
Скачать (прямая ссылка):
«то = ^rn (CT1), ьт = а'т(а2).
Из соотношений, находящихся в первом столбце, получаем
F (аи ...,am) = F (bu ...,bm) (O1).
Из соотношений, находящихся во втором столбце, получаем
F (&1, ...,bm) = F (а[, ...,а'т) (а2),
и потому
F (аи ..., ат) = F (а[, .. ., а'т) (а), что и требовалось.
следствие 1. если произведение о — CT1O2 ... gji
конгруенции O1, . . ., Од есть эквивалентность, то о является и конгруенцией. Произведение двух конгруенций на алгебраической системе SI тогда и только тогда есть конгруенция на И, когда перемножаемые конгруенции перестановочны.
В самом деле, согласно п. 1.4, произведение CT1CT2 тогда и только тогда является эквивалентностью, когда O1O2 = = ^i-
Каковы бы ни были заданные бинарные отношения аа на произвольной алгебраической системе И, МОДЕЛИ И АЛГЕВРЬЇ
69
всегда на ЭД существует конгруенция, содержащая все Oa. Такой конгруенцией является, например, единичная конгруенция $1 X 21. Согласно теореме 4 пересечение а всех конгруенций на 21, содержащих все отношения оа, есть конгруенция на 21. Это — наименьшая конгруенция, содержащая заданные отношения оа.
Конструкция наименьшей эквивалентности о, содержащей заданные эквивалентности Ga (а ? 2), была указана в п. 1.4. Оказалось, что о есть объединение всевозможных произведений заданных эквивалентностей.
Теорема 6. Наименьшая конгруенция о, содержащая заданные конгруенции Oa (а ? 2) на алгебраической системе 21, представляет собой объединение всевозможных произведений заданных конгруенций вида CctlOct2 . . . оа}а и потому наименьшая конгруенция, содержащая заданные конгруенции Oa, совпадает с наименьшей эквивалентностью, содержащей заданные конгруенции.
Нам надо лишь показать, что объединение о произведений вида Ottl ... Oah (к = 2, 3, . ..) есть конгруенция. Пусть для главной операции F и некоторых A1, а[, ..., ат, а'т из 21 истинны соотношения (1). Это значит, что для ПОДХОДЯЩИХ произведений р!, ...,Pm истинны соотношения
Й1 = <ы,
ат = ат (pm)-
Так как plf ..., рт рефлексивны, то рг- е р(рг ... Pm и, следовательно,
U1 == а[ (P1P2 ... Pm),
ат = а'т (р!р2 ... pm).
Согласно теореме 4 произведение pjp2 ... pm есть стабильное отношение, и потому
F (аи .. ., ат) = F (а[, . .., а'т) (pjp2 ... pm).
Ввиду включения P1 ... Pm ^ о, отсюда получаем (2), и теорема 6 доказана, 70
0БЩЇЇЕ ПОНЯТИЯ
[Гл. 1
Ясно, что если заданные отношения оа —не конгру-енции, а эквивалентности, то наименьшая конгруенция, содержащая все Oa, будет лишь содержать в себе наименьшую эквивалентность, содержащую все оа.
В связи с замечаниями, сделанными в п. 1.4, упомянем еще
Следствие 2. Если конгруенции Cri, O2 перестановочны, то их произведение есть наименьшая конгруенция, содержащая в себе O1 и о2.
Действительно, наименьшая конгруенция о, содержащая o1 и O2, содержит и QiO2. С другой стороны, согласно следствию 1, OyO2 есть конгруенция, содержащая O1 и a2. Отсюда о = O1O2.
2.5. Декартовы произведения. Нам уже встречались декартовы произведения конечных последовательностей множеств. Мы теперь обобщим это понятие до понятия декартова произведения произвольной системы множеств и, более того, введем понятие декартова произведения произвольной системы алгебраических систем произвольного фиксированного типа.
Рассмотрим какое-нибудь непустое множество А, элементы которого условимся называть индексами. Пусть каждому индексу a Q А поставлена в соответствие некоторая алгебраическая система
Ш* = (Ма, {if>}, {Pf}) (?<>, t|<V) (1)
данного фиксированного типа т = (т0, . . ., т^, . . .; n0, ..., пч, ...)(?< ц, т] < v). Декартовым произведением индексированной системы множеств^ Ma по совокупности индексов А называется множество функций /из А в . объединение U Ma, удовлетворяющих условию
ї(а) ЄМа (а Є А). (2)
Декартово произведение системы множеств Ma по совокупности А будет обозначаться выражениями
П ма, П м« <«ел), Пма.
а?А
Согласно (2), чтобы задать элемент / декартова произведения, достаточно в каждом множестве Mrr выбрать МОДЕЛИ И АЛГЕВРЬЇ
71
элемент / (a) /а. Обратно, каждый такой совместный «выбор» в каждом множестве Ma по, элементу fa однозначно определяет функцию /, удовлетворяющую условию (2), а значит, определяет и некоторый элемент декартова произведения.
Допустим, что каждое из множеств Ma не пусто. Будет ли в этом случае непустым и декартово произведение WMaI Если совокупность индексов А конечна, то положительный ответ на этот вопрос не вызывает сомнений. Непустота каждого множества M01 означает, что в этом множестве Ma можно «выбрать» хотя бы один элемент. Производя такой выбор для каждого а, получим совместный выбор, а значит, и элемент декартова произведения. Если множество А бесконечно, то требуется произвести бесконечное число произвольных выборов. Осуществимость не только конечного, но и бесконечного числа выборов- является постулатом теории множеств, называемым аксиомой Цермело или аксиомой выбора. Мы сформулируем эту аксиому в следующей форме.
Аксиома выбора. Декартово произведение произвольной индексированной системы непустых множеств есть множество непустое.
