Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Мальцев А.И. -> "Алгебраические системы" -> 17

Алгебраические системы - Мальцев А.И.

Мальцев А.И. Алгебраические системы — Наука, 1970. — 392 c.
Скачать (прямая ссылка): algebraicheskiesistemi1970.djvu
Предыдущая << 1 .. 11 12 13 14 15 16 < 17 > 18 19 20 21 22 23 .. 133 >> Следующая


Pn <=Qn (г]< ?).

Тождественное отображение А на А тогда и только тогда есть изоморфизм Sl на 95, когда

Pr) (Ч < ?).

Из сравнения условий (2), (3) также видно, что взаимно однозначное отображение ф произвольной алгебраической системы SI на произвольную однотипную систему 95 тогда и только тогда является изоморфизмом SI на 95, когда ф и ф-1 — гомоморфизмы SI на $ и 25 на St. В частности, если ф — изоморфизм SI на 93, то ф-1 — изоморфизм 95 на St.

Пусть ф — гомоморфизм алгебраической системы SI в какую-нибудь алгебраическую систему 35 и г|) — гомоморфизм 95 в некоторую систему Легко проверить, что отображение <ргр системы SI в систему (? удовлетворяет условиям (1), (3), и потому произведение гомоморфизмов есть гомоморфизм. МОДЁДЙ Й АЛГЕБРЫ

51

Рассматривая обратные отображения, приходим к выводу, что произведение изоморфизмов алгебраических систем есть изоморфизм.

В отличие от моделей, взаимно однозначный гомоморфизм алгебры на алгебру есть изоморфизм.

Это непосредственно вытекает из определений, так как для алгебр изоморфизм и гомоморфизм характеризуются выполнением одних и тех же тождеств (1).

Алгебраическая система St называется изоморфной системе 35, если существует изоморфизм I на

Из сказанного выше следует, что отношение изоморфизма между алгебраическими системами рефлексивно, симметрично и транзитивно. Поэтому все алгебраические системы данного типа распадаются на классы {изо-классы) изоморфных между собою систем. Теория алгебраических систем изучает преимущественно лишь те свойства алгебраических систем, которые сохраняются при изоморфизме и которые, таким образом, одинаковы у всех изоморфных систем. Эти свойства часто называют абстрактными свойствами систем. Считается, что абстрактные свойства системы — это свойства главных операций и предикатов системы, не зависящие от природы элементов, слагающих систему. Примерами наиболее простых абстрактных свойств систем могут служить тип и мощность системы, так как тип и мощность у изоморфных систем заведомо одинаковы.

Иногда бывает нужно построить алгебраическую систему, изоморфную данной, но имеющую иное основное множество. Мы изложим простейший прием, часто применяемый при решении этой задачи.

Пусть заданы некоторая алгебраическая система И = <Л, {Рч}> (і < а, т] < ?), какое-то множе-

ство В и взаимно однозначное отображение (р: А ->- В. Требуется построить алгебраическую систему 35 с основным множеством В такую, чтобы отображение ф было изоморфизмом Ш на 35.

Решение этой задачи очевидное. На множестве В определяем операции Gi (I < а) и предикаты Qn (т] < ?), полагая

Gi (г/1, . . ., уTni)=-Fі (f/іф-1, - • ¦, г/mgtp-1) Ф,

Qn (Уь • • •. Упч) = Pn (г/іф"1, .... Упцф"1)-

4* 52

ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ

[Гл. I

Ясно, ЧТО отображение ф есть изоморфизм системы її на получившуюся алгебраическую систему 35 = = <В, {GJ, {<?„}>.

В начале этого пункта с каждой алгебраической системой її = {A, {/1?}, (PtJ) (І < а, г] < ?) была связана однозначно определенная модель 21* — {А, {Pi}) (? <С а + ?), представляющая систему її. Пусть 35 = {В, {Gi}, {(?,,}) — какая-то другая система, однотипная с системой її, и SS* = (В, {Q^}) (С < а + + ?) — модель, представляющая систему 58. Допустим, что задан гомоморфизм ф системы її в систему 35. Будет ли отображение ф гомоморфизмом модели її* в модель 35*? Очевидный положительный ответ дает

Теорема 1. Отображение ф алгебраической системы її в алгебраическую систему 35 тогда и только тогда является гомоморфизмом, когда ф — гомоморфизм модели SI*, представляющей систему її, в модель 95*, представляющую систему 35.

В самом деле, пусть ф — гомоморфизм модели її* в модель 35*, Fi, Gi — одноименные главные тге-арные операции систем її, 35, Pg, Qi — соответствующие предикаты моделей її*, 3** и at, . . ., ат — произвольные элементы основного множества її. Полагая а = = Fi (аь . . ., ат), имеем

Р% (аи . . ., аш, а) = И.

Следовательно,

Qi («іф, . . ., атф, аф) = И,

т. е.

Gi («іф, . . ., атф) = аф,

что и требовалось. Обратное утверждение проверяется так же.

В заключение в качестве примера приведем изоморфизм и гомоморфизм, хорошо известные в арифметике вещественных чисел. Пусть С — совокупность всех вещественных чисел, С+ — совокупность положительных, C0 — совокупность неотрицательных вещественных чисел. Формула

Ig (a-b) = Iga + Ig 6

показывает, что отображение а<р = Ig а есть изоморфизм алгебры (С+, •) на алгебру (С, +>. МОДЕЛИ И АЛГЕБРЫ

53

G другой стороны, из формулы

і Х-у S = I Ж I-1 у I

вытекает, что отображение х | х \ есть гомоморфизм алгебры (С, ¦ ) на алгебру (C0, • )¦ Отображение X ->- І ж I не взаимно однозначное, так как при нем каждое число из C0, отличное от 0, имеет два прообраза в С.

2.3. Подсистемы. Порождающие совокупности. Непустое подмножество A1 основного множества А некоторой алгебраической системы = (A, Q) называется замкнутым в системе 21, если Ai замкнуто относительно каждой главной операции F^ этой системы, т. е. если результат любой главной операции, произведенной над произвольными элементами множества A1, принадлежит снова A1. Обозначим через F%, P^ операции и предикаты, определенные на A1, значения которых на A1 совпадают соответственно со значениями операций F^ Q и предикатов Рц ? Q. В результате получим алгебраическую систему SSt1 = (А й*), называющуюся подсистемой системы Si. Если St — алгебра или модель, то St1 называют подалгеброй или подмоделью Si.
Предыдущая << 1 .. 11 12 13 14 15 16 < 17 > 18 19 20 21 22 23 .. 133 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed