Алгебраические системы - Мальцев А.И.
Скачать (прямая ссылка):
Теорема 2 (1-я теорема об изоморфизме). Пусть St1 — произвольная подсистема какой-то алгебраической системы St и о — конгруенция на St. Тогда А\{\о — конгруенция на A1, OA1 — подсистема системы St и имеет место взаимно однозначный гомоморфизм
St1/(а П А\) OSt1/а, (4)
где стрелкой обозначено каноническое отображение, при котором каждый смежный класс стоящей слева фактор-системы переходит в содержащий его смежный класс фактор-системы, стоящей справа.
Первое утверждение теоремы очевидно. Замкнутость множества OA1 относительно главных операций также легко проверяется. Действительно, пусть F — какая-то яг-арная главная операция и als . . ., ат — произвольные элементы из OA1. Это значит, что в A1 существуют элементы а^, . . ., ат, связанные с alt . . ., ат соотношения-
5 А. И. Мальцев 66
0БЩЇЇЕ ПОНЯТИЯ
[Гл. 1
ми(1). Так как по условию F (а[,
заключаем, что F (а1г
г) в OA1.
dm) qa1, то из (2)
Рис. 1.
Ясно, что каждый смежный класс A1 по а П А\ лежит в некотором смежном классе системы OA1 по о и каждый смежный класс OAi по о содержит лишь один смежный класс A1 по о f| A21. Это положение схематически представлено на рис. 1, где секторы внутреннего круга изображают смежные классы A1 по о а содержащие их секторы большого круга изображают соответствующие классы OA1 по о. Допустим для простоты, что систему її имеет бинарный главный предикат P и что для некоторых и, V из ЇЇі/о П A21 P (и, и) = И. Тогда в классах и и V найдутся такие элементы а, Ъ, что P (а, Ъ) = И. Но в таком случае, согласно определению фактор-систем, P (ао, bo)= И. Ташщ образом, отображение (4) — гомоморфизм относительно всех главных предикатов. Аналогично доказывается и то, что отображение (4) — гомоморфизм относительно всех главных операций.
Взаимно однозначный гомоморфизм алгебры на алгебру есть изоморфизм. Поэтому, если її — алгебра, то отображение (4) является изоморфизмом.
Рассмотрим теперь случай, когда на одной и той же алгебраической системе ЇЇ заданы две конгруенции
tIj удовлетворяющие условию Рис. 2.
о CZ ті- На рис. 2 элементы її изображены точками большого квадрата, смежные классы її по г) — четырьмя средними квадратами, а смежные классы її по а — шестнадцатью мелкими 'квадратами. Ясно, что и в общем случае каждый смежный класс її по г) распадается на.. несколько смежных классов по о, и потому можно утверждать, что конгруенция г| индуцирует на фактор-системе ,її/о некоторую эквивалентность, МОДЕЛИ И АЛГЕБРЫ
6?
которую мы условимся обозначать через т]/а. Мелкие квадраты т]/а-эквивалентны, если они лежат в одном и том же среднем квадрате *).
Теорема 3 (2-я теорема об изоморфизме). Пусть на алгебраической системе 21 существуют конгруенции о, rj, связанные соотношением а с: rj. Тогда эквивалентность ц/о есть конгруенция на фактор-системе 21 /о и каноническое отображение
<р: Я/о/тi/o Я/т| (5)
есть изоморфизм.
Первое утверждение очевидно, и потому будем доказывать лишь второе. Допустим для простоты, что система Я имеет бинарный • главный предикат Р, и пусть для некоторых и, V из Я/rj этот предикат истинен. Это значит, что в Я найдутся точки а ? и, Ъ ? и, для которых P (а, Ъ) = И. Отсюда следует, ' что P ([я]0, [6lQ) = И, и потому P ([[«Uri/ff, [[blffWo) — И в фактор-системе Я/ff/rj/ff. Аналогичным образом убеждаемся, что из PXx^ У) — И в фактор-системе Ш/о/ц/о следует P (хер, у(р) =Mb фактор-системе Шт].
Мы показали, что отображение (5) есть изоморфизм относительно всех главных предикатов системы Я. Тем же путем убеждаемся, что это отображение есть изоморфизм и относительно всех главных операций системы Я.
В п. 1.4 рассматривались некоторые операции над эквивалентностями. Посмотрим, будут ли результаты этих операций конгруенциями, если исходные эквивалентности — конгруенции.
Теорема 4. Пересечение о любой совокупности кон-груенций 9а на алгебраической системе Я есть конгруенция на Я.
Из п. 1.4 мы знаем, что о — эквивалентность на Я. Рассмотрим какую-нибудь главную операцию F на Я, и пусть элементы аи а[, . . ., ат, ат из Я связаны соотношениями (1). Так как о содержится в произвольной
*) Эквивалентность ц/а, называемая обычно дробной, может быть определена формулой
Ma1Vcr IfcJtr ^ аЧъ> где a, b — произвольные элементы данной системы.— Прим. ред.
5* 68
ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ
ЕГл. I
конгруенции 6а, то соотношения (1) верны и для 9а, а потому для Qa верно соотношение (2). Поскольку соотношение (2) истинно для любой конгруенции 9а, то оно истинно и для пересечения их а.
Теорема 5. Произведение о = CT1O2 ... Gft конечной последовательности бинарных отношений O1, . . ., 0?, стабильных на алгебраической системе Sf, стабильно на St.
Очевидно, достаточно доказать теорему для двух сомножителей. Пусть F — какая-нибудь главная те-арная операция системы И и а[, . . ., йт, — элементы системы Si, связанные условиями (1). Согласно определению произведения отношений (п. 1.2) в 21 найдутся элементы 6lt . . ., Ът, связанные соотношениями:
«і bt (O1), b{ = а[ (а2), а2 = &2 (O1)t b2 = а'2 (сг2),
