Алгебраические системы - Мальцев А.И.
Скачать (прямая ссылка):
Система 2Г/а = <А/<т, {Pf}, {P?j}) (?<а, rj<?) называется фактор-системой системы 21 по конгруенции а.
Каноническое отображение <р: а ->- [o]0 системы И на фактор-систему 21/а есть гомоморфизм, для которого конгруенция g служит ядерной эквивалентностью.
В самом деле, из условия (3) получаем Fi (аи ..., am&) ф = (аи ..., amg)]a = Pf (а^, ..., am| ф),
а из Pt, (аи ..., а„п) = И следует P^ (сцф, ..., аПг] <р) = И, что и требовалось.
Гомоморфизм ф системы 2t = <A, {Р|}, {Рц}) на систему © = {#, {Gi}, {?„}> называется сильным, если для каждых элементов bu ---,bn^B и для каждого главного предиката (? из Qn (bu .. ., ЬПг]) = И вытекает МОДЕЛИ Й AJtTEBt1 ЬІ
ез
существование в А таких прообразов аи . .., аПі] элементов blt .. ., bnдля которых Рц{аи ..., аПг) = И.
Поскольку алгебры не имеют главных предикатов, то для алгебр понятия гомоморфизма и сильного гомоморфизма совпадают. Для моделей могут существовать гомоморфизмы, не являющиеся сильными *).
Из определения главных предикатов фактор-системы 21/а непосредственно следует, что каноническое отображение 21 на 2f/a есть сильный гомоморфизм.
Теорема 1 (теорема о гомоморфиз-м е). Ядерная эквивалентность а каждого гомоморфизма ф алгебраической системы Sf = (А, (Fi}, [Рц}) на однотипную систему ?3 = (В, {Gj} ,{<?п})(? <С а, т] < ?) есть конгруенция на SI и каноническое отображение т: 2t/а 33 есть гомоморфизм. Если гомоморфизм ф сильный, то каноническое отображение 21/а на S3 есть изоморфизм.
Действительно, из условий (1) вытекает akcp = a'k(p Qc= і, .. .,
Следовательно,
G1 («!ф, . .., аГО|ф) = Gi «ф, . . ., аЦф),
т. е.
F1 {аи ,.., ат?) ф = F1 (а[, йЦ) ф,
и потому (2) истинно.
Пусть ДЛЯ некоторых Ct1, . . . , On11 из А отношение Pridai], ..., [аПц]) истинно. Это значит, что для подходящих а[, ..., а'п из А имеем
а^ф^а^ф (&--= 1, ..., Hri)
*) Пусть, например, SI = ({a}, P) есть система, у которой основное множество состоит из одного элемента а, а основной предикат P одноместный и P (а) — Л. Пусть также S3 = ({fc}, Q) — другая система с одноэлементным основным множеством и одним одноместным основным предикатом Q1 причем Q (Ь) = И.^Отображение ф: аb есть гомоморфизм (и даже взаимно однозначный), но не сильный, т. е, ф не является изоморфизмом данных моделей.— Прим. ред. 64
0БЩЇЇЕ ПОНЯТИЯ
[Гл. 1
и Pn (a'v .. ,, а'п ) = И. Из последнего соотношения вытекает, что Qn (а^ср, ..., а'п^р) — И. Так как
[а]т = 0ф (а ? А), то т — гомоморфизм.
Наконец, пусть гомоморфизм tp сильный и для каких-то элементов bu .. ., ЬПц отношение Qn (bu .. ., bn ) истинно. Тогда в А найдутся такие прообразы .. ., ?ji^ элементов 6„ч, что Pn (аи ..аПї]) = И. Но в таком случае
..., [%])-Я.
Ядерная эквивалентность а гомоморфизма ф алгебраической системы 31 будет называться в дальнейшем ядерной конзруенцией.
Теорема 1 показывает, что совокупность всех сильно гомоморфных образов заданной алгебраической системы И с точностью до изоморфизма исчерпывается совокупностью всех фактор-систем данной системы по ее различным конгруенциям. Поэтому задачи: а) найти с точностью до изоморфизма все сильно гомоморфные образы данной алгебраической системы 21 и б) найти все конгруенции на Sl — равносильны.
На каждой алгебраической системе St, очевидно, заведомо существуют нулевая конгруенция і, совпадающая с отношением равенства элементов 21, и единичная конгруенция to, при которой любые два элемента 21 конгруентны друг другу *). Каждый смежный класс по нулевой конгруенции состоит лишь из одного элемента и каноническое отображение Я на 2ІЛ есть изоморфизм. Напротив, единичная конгруенция объединяет все элементы 21 в один класс и 21/(0 есть одноэлементная система.
Рассмотрим несколько примеров. Возьмем алгебры
2Ii = ({1, 2, 3, ...}, +>, 2Г2 = ({— 1, 1}, •)
и обозначим через ср отображение SI1 на 212, определяемое формулой аф = (—1)а. Так как
(я + Ь) ф = (— 1)°+ь — (— I)0 • (— 1)ь = аф ¦ Ьср,
*) Конгруенция ю называется иногда универсальной.— Прим. ред. МОДЕЛИ И АЛГЕВРЬЇ
65
то ф — гомоморфизм. Фактор-алгебра Sf1Ap состоит из двух классов: класса [1] всех нечетных положительных чисел и класса [21 всех четных положительных чисел. Легко убедиться, что помимо ядерной конгруенции, отвечающей гомоморфизму <р, на алгебре St1 существует бесконечное множество и других конгруенций.
Рассмотрим еще модель (.А, Р) с унарным предикатом Р., который мы будем отождествлять с множеством элементов, на которых он истинен. Ясно, что тождественное отображение модели (А, P) на однотипную модель {А, Q) тогда и только тогда является гомоморфизмом, когда P^Q. В частности, если P = 0, то тождественное отображение модели (А, Р) на любую модель {A, Q} есть гомоморфизм. Всем этим гомоморфизмам отвечает одна и та же нулевая конгруенция = на А.
Прежде чем формулировать следующую теорему, * напомним, что для любого бинарного отношения а на множестве А и любого A1 ^ А символом OA1 обозначается совокупность тех X Q А, для которых в A1 существует элемент U1, удовлетворяющий условию XOa1 == И. Определенная выше единичная эквивалентность ю на A1 совпадает с декартовым квадратом A1 X A1 и потому часто записывается в виде A21.
