Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Мальцев А.И. -> "Алгебраические системы" -> 19

Алгебраические системы - Мальцев А.И.

Мальцев А.И. Алгебраические системы — Наука, 1970. — 392 c.
Скачать (прямая ссылка): algebraicheskiesistemi1970.djvu
Предыдущая << 1 .. 13 14 15 16 17 18 < 19 > 20 21 22 23 24 25 .. 133 >> Следующая


а?Т

Теорема 2. Объединение непустой локальной совокупности (& подсистем произвольной алгебраической системы 21 является подсистемой системы 2t.

Пусть Fi — какая-нибудь главная операция системы 21 H-O1, . . ., ат^ — произвольные элементы объединения. По условию в совокупности <В найдется подсистема 21«, содержащая элементы at, . . ., ата потому содержащая и элемент F^a1, . . ., Элемент

F^a1, . . ., amg) вместе с системой Ha содержится в объединении, и потому объединение замкнуто относительно каждой главной операции.

Из теоремы 2 вытекает, в частности, что объединение возрастающей цепочки

Sf1 с 2І2 с ... с= Ш„ <= ...

подсистем произвольной алгебраической системы 21 является подсистемой системы 21.

Рассмотрим теперь поведение подсистемы при гомоморфных отображениях. МОДЕЛИ И АЛГЕБРЫ

57

Теорема 3. При гомоморфизмах одной алгебраической системы в другую образами подсистем и непустыми полными прообразами подсистем являются подсистемы.

Пусть а — гомоморфизм какой-нибудь системы St = (A, {F%}, {/>„}> в систему ® = (В, {Q^}),

и пусть С — подсистема в Si, С S А.

Берем произвольную главную операцию Gi алгебраической системы SB И произвольные элементы &!, . . ., в образе Ca подсистемы С. Обозначим через аи . . ., ат? какие-нибудь прообразы элементов Ьи . . ., bm^ в C1 и пусть F^al, . . ., ?m-?) = а. Из формулы (1) п. 2.2 получаем

Gi(bi: . . ., bms) = Fiia1, . . ., am.) а = аа.

Так как a Q С, то аа Q Ca, т. е. множество Ca замкнуто относительно главных операций системы 95, и первое утверждение теоремы 3 доказано.

Переходя к доказательству второго утверждения, обозначим через Ъ какую-нибудь подсистему системы 95, и пусть С — непустая совокупность всех тех элементов системы Si, которые при гомоморфизме а переходят в элементы из Надо показать, что совокупность С замкнута. Берем произвольную главную операцию Fi и какие-то элементы . . .,amgH3C. По определению гомоморфизма

Fi (flj, . . ., amg) a = Gi (a4a, . . ., а^а) в Ф, и потому Fі iau . . ., атQ С, что и требовалось.

Отметим следующий частный случай теоремы 3: образ системы St при гомоморфизме а в систему 95 есть подсистема системы 95, и гомоморфизм а есть гомоморфизм системы SI на систему Sta.

Изоморфизмы являются частными видами гомоморфизмов. Поэтому утверждения теоремы 3 имеют силу и для изоморфизмов.

При построении систем, удовлетворяющих некоторым требованиям и содержащих заданную систему в качестве своей подсистемы, часто пользуются следующей простейшей конструкцией.

Пусть задано изоморфное отображение а некоторой алгебраической системы St = {A, {i^i}, (-PrJ) на 58

ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ

[Гл. I

Рис. 2.

подсистему <5 = (С, {?г|}, {<?п}) алгебраической системы 95= (В, {(?}, {<?tl}> (С ^ В). Спрашивается, существует ли алгебраическая система Sl1, содержащая систему

SI в качестве своей подсистемы и изоморфная системе 33? Берем множество At^(B\C) U А (рис. 2) и обозначим через ? отображение A1 на В, совпадающее с отображением а на подмножестве А д4,ис тождественным отображением на подмножестве В \С. Ясно, что ?—взаимно однозначное отображение A1 на В. При помощи ? переносим структуру системы 35 на множество A1 (см. п. 2.2), т. е. определяем на A1 предикаты P4 и операции Fi посредством формул

. Fl (х1, • • •, = Gl Oi?, . .., zmg?) ?-\ Pn (X1, ..., ХПц) = Qn (х$, . . ., Xn?). В результате получим алгебраическую систему St1 = = (.A1, {-^?}, (P11)). Ясно, что St — подсистема системы St1 и ? есть изоморфизм Stj на 35, совпадающий на Sl M

с первоначально заданным Щ "

изоморфизмом а. Щ

Говорят кратко, что г----

система Sl1 получается из

35 отождествлением элемен- I-----

тов системы St с соответ- ff _______

ствующими элементами СИ- ?2 ____^

стемы 35. fj

Рассмотренный способ вложения одних систем B Рис. 3.

другие, естественно, приводит к следующей важной конструкции. Пустьзадана бесконечная последовательность алгебраических однотипных систем St1, St2, • • ., и пусть для каждой системы Sti задан изоморфизм фг в систему Sl/+i, Системы Stj изображены на рис. 3 МОДЕЛИ И АЛГЕБРЫ

59

условно отрезками, а изоморфизмы ф; — проектированиями. Отождествляя Sf1 с tSitpj, St2 с Ш2ф2 и т. д., получим последовательность вложенных друг в друга алгебраических систем

SI1 S 21* с= 2t* с ... (1)

Это значит, что если = {РАт1}) (!<««

T]<?), то

FilC=. F21C= Fsl^ ... (|<а), P14SP2lSft4=... (T]<?).

Пусть A, Fg, Pп — объединения соответственно множеств Ak, Fkl, Phn- Ясно, что отношения Fg являются операциями на множестве А. Поэтому совокупность SI = = {А, {Fi), {Pг,}) (I < a, Tj <С ?) есть алгебраическая система, содержащая системы SIi, 21*, ... в качестве своих подсистем. Система 2t называется объединением возрастающей цепочки систем (1). Первоначальная последовательность изоморфизмов

(2)

называется прямым спектром, а система 2t — пределом этого спектра*).

В построении предела прямого спектра (2) нигде не предполагалось, что системы St1, SI2, • • ¦ различны. Иногда представляет интерес и случай, когда не только все системы 2tj, SI2, • - • совпадают друг с другом, но и все изоморфизмы фі равны друг другу. Рассмотрим, например, алгебру
Предыдущая << 1 .. 13 14 15 16 17 18 < 19 > 20 21 22 23 24 25 .. 133 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed