Алгебраические системы - Мальцев А.И.
Скачать (прямая ссылка):
Подсистема St1 однозначно определяется подмножеством A1, и поэтому вместо «подсистема St1= (A1, ?2*)» часто пишут «подсистема St1 = (A1, Q)» или просто «подсистема At».
Если система St есть модель, то любое непустое подмножество А і ^ А будет замкнуто, и потому любое непустое подмножество основного множества модели является подмоделью.
В п. 2.2 для каждой алгебраической системы St = = (A, Q) была построена модель 50} = (A, ), представляющая систему St в предикатной форме. Ясно, что каждая подсистема A1 системы St представляется подмоделью A1 модели SOft- Однако не каждая подмодель Aj модели 30ft представляет подсистему системы St. Действительно, каждое подмножество A1 ф 0 множества А есть подмодель модели 9Л, тогда как подсистемами системы SI являются лишь замкнутые подмножества. Подмодели модели SJl часто называют подмоделями системы St. При этом замкнутые подмодели 54
ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ
[Гл. I
системы 21 отождествляют с соответствующими подсистемами системы 21. Разница между подмоделями и подалгебрами хорошо поясняется на следующем примере.
Пусть основное множество А алгебры W состоит из точек аи я2, аъ, а^, а5, а6, образующих вершины правильного шестиугольника (рис. 1). Вводим операцию F, полагая
F (а*) = аі+1 (і Ф б). F («в) =
Алгебра (A, F) не имеет подалгебр, отличных от нее самой, так как, производя операцию F над произвольной точкой at, а затем, беря Fz (Hl)=FiF (at)), . . ., F^ai), рис получим все 6 точек. В то же время
алгебра 21 имеет 2е —1 = 63 подмодели. Например, 21 содержит подмодель.
({аи а2, а5, я6}; {(%, а2), (а5, ав), (ав, aj)}).
Отметим, что если среди главных операций системы есть нульарные, то каждая подсистема содержит все главные элементы системы. Одно из важнейших свойств подсистем указывает
Теорема 1. В любой алгебраической системе 21 = (А, ?2) пересечение произвольной совокупности подсистем либо пусто, либо является подсистемой.
Нам надо убедиться, что пересечение D произвольной совокупности {Aa J a Q Tj замкнутых подмножеств Aa множества А либо пусто, либо замкнуто. Пусть Вф 0. Производя какую-нибудь главную операцию F% над произвольными элементами O1, . . ., ат из D, получим некоторый элемент а Q А. Так как произвольное множество Aac замкнуто относительно операции F% и содержит элементы аи . . ., то а ? Aa и потому a QD, что и требовалось.
Пусть среди главных операций системы есть нульарные. Тогда главные элементы системы, содержась в каждой подсистеме, содержатся и в пересечении любой совокупности подсистем. Таким образом, для систем с главными элементами пересечение любой совокупности подсистем есть снова подсистема. В частности, подсистемой будет МОДЕЛИ И АЛГЕБРЫ
55
пересечение вообще всех подсистем данной системы. Это наименьшая или главная подсистема системы Sf.
Однако главную подсистему может иметь и система, не имеющая нульарных главных операций. Рассмотрим, например, алгебру
S = <{0, ±1, ±2, . . .}, +, -, X),
называемую кольцом целых рациональных чисел. Каждая ее подалгебра содержит какое-то число а и замкнута относительно вычитания. Поэтому она содержит и число а — а = 0. С другой стороны, число 0 само по себе составляет подалгебру в 3- Отсюда следует, что подалгебра {0} наименьшая в Напротив, алгебра
({1, 2, 3, . . .}; +>,
как легко видеть, наименьшей подалгебры не имеет.
Рассмотрим снова произвольную алгебраическую систему 21 = (A1 fl). Пусть В — некоторое непустое множество ее элементов. Среди подсистем системы И заведомо найдутся такие, которые будут содержать множество В. Например, множество В содержит подсистема, совпадающая со всей системой 21. Обозначим через 35 пересечение всех подсистем, содержащих множество В. Согласно теореме 1 35 есть подсистема. Она содержит В и содержится в каждой подсистеме, содержащей В, т. е. 35 есть наименьшая подсистема, содержащая множество В. 95 называется подсистемой системы И, порожденной множеством В, а элементы множества В иногда называются порождающими элементами подсистемы 35. Если подсистема 35 совпадает с И, то В называется порождающим множеством для системы И.
Отметим сразу же, что различные множества могут порождать одну и ту же подсистему. Например, в алгебре, изображенной на рис. 1, каждый элемент порождает всю алгебру. Напротив, ни один элемент алгебры (N, х } (N = {0, 1, 2, . . .}) в отдельности не порождает всей алгебры (N, X ). Более того, легко показать, что никакое конечное множество элементов этой алгебры не может порождать всей алгебры. 56
ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ
[Гл. I
Отметим еще следующие свойства порождающих множеств, непосредственно вытекающие из определений. Для краткости через [Clgi обозначим подсистему, порожденную множеством С в системе 21. Имеем:
1. Cg= [Cj9l.
2.
3. [Cj9l = [[?:]?]?. \С\[сЧ = [Cj9I-
Легко видеть, что объединение двух подсистем может не быть подсистемой. Тем не менее в дополнение к теореме 1 может быть сформулировано предложение, названное ниже теоремой 2.
Пусть А — произвольное множество и В — некоторое его подмнояієство. Совокупность = {Аа I а Є Т} подмножеств Aa множества А называется локальной в В, если любое конечное подмножество из В содержится в некотором множестве Aa из совокупности Совокупность (3, локальная в своем объединении, т. е. локальная в множестве В = У Aa, называется просто локальной.
