Комбинаторная теория групп - Линдон Р.
Скачать (прямая ссылка):
Поскольку М* имеет не более одной дырки, 6 (Qm« —Лм*) ^ Так как каждая область карты M имеет внутренние ребра М* не имеет изолированных вершин и Vm' ^ Ем*- Следовательно"
(5-2) 0 < 2м. (4 -d (V)] + 2°м, [6 -d (v)] + 2%м, [3 -d (D)].
Используя соответствие между картой и дуальной картой, получаем
(5.3) 0 < 2м [4 - і (D)] + 2°м I6 ~d (°)] + 2 2ж [3 - d (v)].
Мы показали, что ни один член в первой сумме не является положительным. Кроме того, ни один член в последней сумме не является положительным. Понятно, что любой член в средней сумме был бы отрицательным, значит, в M нет внутренних областей. Если бы для некоторой граничной области выполнялось i(D)>4, то первая сумма была бы отрицательной; значит, і (D)=4 для всех областей D карты М. Сходным образом из рассмотрения последнего члена получаем d(v)=3 для всех вершин v карты М. О
Теорема 5.4. Допустим, что R ydoeAemeopaem odnoMy из условий
(1) С (1/6);
(2) С (1/4) и Г (4).
Пусть и и г — нетривиальные циклически R-npueedeumte элементы группы F, не сопряженные в этой группе.
Тогда и и z сопряжены в G в том и только том случае, когда существует элемент h группы F, такой, что u*=h-1z*h в G, где и* и z*—циклически приведенные элементы, сопряженные с и и z соответственно, и h удовлетворяет следующим условиям:
(i) Zi = ^1 или h = ^2, где каждое b/y /=1,2, является под-словом элемента гj из R. (Если R удовлетворяет условию С (1 /8), то h = b1.)
(ii) Irt\ < 2q max(|и \, \z\), где q равно 3 или 4 в случае (1) или (2) соответственно.
5. Проблема сопряженности
343
Таким образом, если F конечно порождена, a R рекурсивно, то проблема сопряженности в G = F/N алгоритмически разрешима.
? Достаточность очевидна. Допустим поэтому, что и и г сопряжены в G. Сделанные предположения дают возможность построить диаграмму сопряженности M для и и г. Пусть о и г — соответственно внешняя и внутренняя границы карты М. Возникают две возможности:
Случай 1. Предположим, что существует область М, граница которой содержит ребра как из о, так и из т. Доказательство теоремы 5.3 показывает в этом случае, что если E — область карты М, такая, что дЕ не содержит ребра, лежащего и в а и в т, то і (E)^ ^p/q+2. Следовательно,
[f+2-'H<z«[f+2-'^]-
где 2'м означает суммирование только по тем областям, которые содержат ребра, лежащие одновременно войт. Таким образом, существует по меньшей мере одна область D, такая, что і (D) <j <р/<? + 2.
При выполнении условия С (1/6) имеем і (D) ^ 4. Значит, более 2/6 метки г границы dD встречается в границе карты М. Поэтому более 1/6 метки г должно встречаться либо в ф(а), либо в ф(т). Следовательно, справедливо одно из неравенств |г|<6|и|, |г|<6|г|. При выполнении условия С (1/4) получаем |г|<8|и| или |г|<8|г|. Этим утверждение (H) доказано.
Существует простой путь ? от а к т, для которого ?—dD. Разрезая карту M вдоль пути ?, мы приходим к простой связной карте M'. Имеем u*b (z*)-1 b 1 ? N, где и* и г* —циклически приведенные элементы, сопряженные с и и г соответственно, ab — метка на ?.
Случай 2. Допустим, что ни одна граница областей карты M не содержит ребер, лежащих одновременно в о и т. В этом случае применима теорема 5.3. Пусть M1—объединение пути а и замыканий всех областей, границы которых содержат некоторое ребро из а. Аналогично определим M2, заменяя а на т. Тогда M1U /Vf2 = М, причем как M1, так и M2 — кольцевые карты.
Возьмем произвольную область D1 с граничным ребром е на внутренней границе карты M1. Ребро е является ребром на пересечении границ для D1 и для некоторой области D2 из M2. В этом случае мы можем построить простой путь ? от о к т, проходящий вначале по границе области D1, а затем по границе области D2. Разрезая M вдоль пути ?, мы получаем, что и*Ь (г*)-1 b'1 б N. Метка на ? равна Ь,Ьг, где bt —метка на части пути ?, лежащей в Df.
344 Гл. К. Теория малых сокращений
Допустим, что г, —метка для D1. Поскольку U(D1) = p/q-\-2, более 2/6 этой метки входит вив 1/6-случае. При выполнении же условий С (1/4) и T(A) более 1/4 метки rv входит в и. Тоже замечание справедливо и при рассмотрении части метки области D2, входящей в г~1.
Если допустить, что R удовлетворяет условию сокращения? С (1/8), то диаграммы, удовлетворяющей предположениям теоремі,.. 5.3, существовать не может, поскольку из этого условия и условия (В) следовало бы, что область D, не содержащая ребер, лежащих в а и т, одновременно обязана иметь, самое меньшее, пять внутренних ребер. Из этого вытекала бы отрицательност" суммы в неравенстве (5.3), чего не может быть. Таким образом диаграмма M для и и z должна содержать некоторую область ребрами на обеих границах карты М, и мы находимся в условия случая 1. ?
Несмотря на то что предыдущая теорема решает проблему со пряженности, в ней обходится вопрос о точном описании струк! туры диаграммы сопряженности в случае, когда имеется область,; содержащая ребро из обеих границ. Это будет сделано в следующее-теореме.
Теорема 5.5. Допустим, что R удовлетворяет либо С (1/6), либ< С (1/4) и Г (4). Допустим, что
(A) M — приведенная кольцевая R-диаграмма.
