Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Линдон Р. -> "Комбинаторная теория групп" -> 152

Комбинаторная теория групп - Линдон Р.

Линдон Р., Шупп П. Комбинаторная теория групп. Под редакцией Ремесленникова В.Н. — М.: Мир, 1980. — 447 c.
Скачать (прямая ссылка): kombinatornteor1980.djvu
Предыдущая << 1 .. 146 147 148 149 150 151 < 152 > 153 154 155 156 157 158 .. 202 >> Следующая

(B) Пусть а и %—соответственно внешняя и внутренняя гра ницы карты М. Если D — область карты М, такая, что O1^dD (] связно, то неравенство ф (оі)>( 1 /2) R не имеет места. Допустим спра ведливость этого предположения и при замене а на т.
(C) Существует область E карты М, такая, что дЕ пересекав обе границы этой карты.
Тогда каждая область D из M имеет ребра как на а, так и нах и t'(D)<2.
? Начнем с определений. Островом карты M назовем ее подкарту, ограниченную простой замкнутой кривой вида O1X1, где O1^a и T1St. Мостом назовем ребро из о Г) т. Покажем, что карта M «выглядит» так, как изображено на рис. 5.3. Если M не содержит островов, то каждая область имеет внутреннюю степень 2. В противном случае M состоит из различных островов, связанных мо-, стами или соприкасающихся в общих вершинах. Область внутренней степени нуль сама является островом, а область внутренней, степени один лежит на конце некоторого острова.
Как и прежде, будем доказывать теорему только для С (1/6 случая. Доказательство для случая С' (1/4) и 7(4) отличается ли" числами. Как обычно, будем предполагать, что M не содерж вершин степени 2. Из предположений (А) и (В), точно так же, к
5. Проблема сопряженности
345
в теореме 5.3, вытекает, что если D — область, пересекающая, самое большее, одну из границ карты М, то і (D)~^4. Более того, нет областей, граница которых пересекается с одной из границ карты M по несвязному множеству.
В процессе доказательства будем использовать индукцию по числу т областей карты М. Если т=\, то теорема справедлива.
Рис. 5.3.
Сделаем теперь специальное предположение, состоящее в том, что если ? — простой путь от о к т, содержащийся в границе некоторой области D, то D не лежит по обе стороны от ?. Позже мы покажем, что если это предположение неверно, то M состоит из одной области.
Допустим, что M содержит область Е, такую, что і (E)=O. Тогда E является островом. Запишем OE=o1t1 и предположим, что o1 начинается в вершине v1, а кончается в вершине v2. Построим новую карту M', выбрасывая область E вместе с ее границей (исключая точки v1 и v2) и отождествляя v1 с v2. Карта M' имеет меньше областей, чем М, и удовлетворяет всем предположениям теоремы. Поэтому по индукции теорема справедлива для M', а значит, и для М.
Осталось рассмотреть случай, когда M содержит область Е, такую, что і(E)^l и дЕ пересекает обе границы карты М. Поскольку і(Е)~^\, рядом с областью E имеется область J, некоторое ребро из границы которой входит в простой путь ? от о к т, такой, что ?sdZ:. Построим новую карту M' следующим образом. Разрежем карту M вдоль пути ? и присоединим экземпляр E1 области E к той стороне пути ?, который граничит с областью J. (См. рис. 5.4.)
Заметим, что если некоторая область D карты М, ОФЕ, имеет ребра как на о, так и на т, то пересечение границы dD и границы для M' не является последовательной частью в дМ'. Кроме того, если D имеет ребра только на одной границе для М, то і (D) по-прежнему не менее 4 в M'. По теореме 4.3
(5.4) 2Ы4-;(?>)] ^6.
Согласно предыдущим замечаниям, только E1 и E могут давать положительный вклад в эту сумму. Поскольку і (Ei) по меньшей
346
Гл. V. Теория малых сокращений
мере равно 1, имеется только две возможности: либо і (E1) = і (E) = 1, либо i(Ei)=2, и тогда /(?)=0. Используя лемму Гриндлингера (теорема 4.5), покажем, что последняя возможность ведет к противоречию. В самом деле, поскольку M' содержит более чем одну область и так как только Ei и E дают положительный вклад в сумму
м м1
Рис. 5.4.
(5.4), из і (Ех)=2 следует, что M' не может содержать двух областей, каждая из которых имеет внутреннюю степень, не превосходящую 1. Это противоречит лемме Гриндлингера. (В случае условий С (1/4) и T (4) в этом месте следует использовать теорему 4.6.)
Поэтому в карте M' имеем /(.Ei) = I, а і (E) равно 1 или 0. Таким образом, на карте M область E имеет в точности одно граничное ребро на границе с областью J. Далее, если имеется область К по другую сторону области Е, то пересечение границы области E с К содержит в точности одно ребро этой границы. То же самое рассуждение можно применить к К и J. Таким образом, двигаясь от Е, мы можем доказать, что все области из того же острова, на котором лежит Е, имеют внутреннюю степень, не превосходящую 2. Если на карте M нет островов, то этот процесс движения от E заметает ее всю, так что можно предположить, что M содержит острова. Построим карту M1, выбрасывая остров, на котором оказалась область Е, и отождествляя концевые точки. К M1 применимо, предположение индукции, и, значит, теорема справедлива как для-M1, так и для М.
Осталось оправдать сделанное нами специальное допущение. Пусть некоторая область E карты M такова, что по ней проходит простой путь ? от а к т и E лежит по обе стороны этого пути. Перейдем к односвязной карте M', разрезая карту M вдоль пути ?. (Дополнительные области на этот раз не появляются.) Если M' содержит более чем одну область, то справедливо неравенство (5.3). Поскольку E — единственная область, которая может дать положительный вклад в правую часть этого неравенства, оно невозможно., Значит, карта M обладает лишь одной областью. ?
Предыдущая << 1 .. 146 147 148 149 150 151 < 152 > 153 154 155 156 157 158 .. 202 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed