Комбинаторная теория групп - Линдон Р.
Скачать (прямая ссылка):
? Поскольку и и z представляют сопряженные элементы группы G, элемент и равен некоторому произведению ррг ... рп, где р= =с2с-1, а каждое pt равно с^сг1 при /,• Q R. Среди всех таких произведений, равных и, выберем такое р'р[ ... р'т для которого число т минимально. Пусть M' — диаграмма для последовательности рр[ ... р'т. Поскольку и не сопряжено с 2 в F, должно было меньшей мере одно pi. Так как u^N, то понятно, что облас с меткой z не будет вычеркнута при построении диаграммы M Если O=C1 ... es — граничный цикл для M', начинающийся некоторой базовой точке v0, то cp(?i) ... ф(^) приведен и равен и.
а b
Рис. 5.2.
Удаляя область с меткой г, перейдем от M' к новой карте М. Тогда M — искомая диаграмма. Наконец, из минимальности числа т следует, что диаграмма M приведена (как в доказательстве лемі 2.1). ?
Назовем M диаграммой сопряженности для элементов и и Построение диаграммы сопряженности не требует наложения к ких-либо условий на R. Если R удовлетворяет условиям сокр щения С(р) и T (а), то M по лемме 2.2 является кольцевой (q, р картой.
Обратимся теперь к случаю, когда R удовлетворяет одному условий сокращения С (1/6) или С (1/4) и Г (4). Пусть «иг — тривиальные циклические /^-приведенные слова, которые сопряже в G, но не являются сопряженными в F. Наша цель —описать г метрию диаграммы сопряженности M для элементов и и г. Нам будет получена очень сильная структурная теорема. Мы докажем что либо все области карты M обладают ребрами на обеих грани цах, либо M имеет «толщину» двух областей, как показано на рис. 5.2 (Рис. 5.2(a) иллюстрирует случай С (1/6), а рис. 5.2(b) иллі стрирует случай С (1/4) и T(A). Число областей внутри слоя пер менно.)
Теорема 5.3. (Структурная теорема для подходящих кольцевых Я-диаграм.) Пусть R удовлетворяет одному из условий
'''."¦JBWSiP "¦ -' -'''*'•.-.'-";
5. Проблема сопряженности
¦ • ъттттшттштшттш 341
(1) С (1/6);
(2) С (1/4) и 7(4).
Цопустим, что имеют место три предположения: (A) M — приведенная кольцевая R-диаграмма. ) (В) Пусть а и т — соответственно внешняя и внутренняя ї границы для М. Если D — такая область, что G1 = dD [) о связен, \то неверно, что ср (G1) > (1/2) R. Допустим, что то же предположение верно при замене о на т.
і (С) M не содержит области D, такой, что dD содержит р ребро как из о, так и из т.
\ Пусть (о, р)—это (3,6) или (4,4) в случаях (1) и (2) соответственно. Тогда M удовлетворяет трем условиям: \ (І) Для каждой области D граница dD соаержит некоторое I граничное ребро карты М.
I (ii) і (D) = plq + 2 для всех областей D карты М.
\: (iii) d(u) = q для всех внутренних вершин v карты М.
? Мы будем доказывать теорему только в случае (1). Доказательство в случае (2) отличается лишь используемыми числами.
Как обычно, мы можем предполагать, что M не имеет вершин степени 2. Докажем сначала, что а и т — замкнутые простые пути.
ДеЙСТВИТеЛЬНО, ДОПУСТИМ, что В о ИМееТСЯ ПеТЛЯ t], 1}фО. Тогда t)
вместе со своей внутренностью является односвязной /^-диаграммой M1. Однако в этом случае по теореме 4.3 M1 должна содержать некоторую область D, противоречащую условию (В) из предположений. То же замечание применимо к т.
Допустим теперь, что D — область карты М, такая, что г)== =dD Г\о — последовательная часть цикла о. Покажем, что dD обладает по меньшей мере четырьмя внутренними ребрами. Поскольку R удовлетворяет С (1/6) и метка на любом внутреннем
ребре является куском, то если бы D имело три или менее внут-
з
ренних ребер, должно было бы выполняться 1ф(т))1>— kl, где г —
метка области D. В этом случае область D находилась бы в противоречии с предположением (В). То же самое рассуждение применимо к областям D, таким, что dD Г) дМ — последовательная часть цикла т.
Покажем, что в M нет областей D, таких, что dD П о несвязно. Предположим, что такая область D существует. Тогда M — D имеет компоненту, являющуюся непустой односвязной подкартой К карты М. Пусть D выбрано среди областей из М, для которых OD D дМ несвязно, таким образом, что число областей в К минимально. Из этого свойства минимальности для D вытекает, что если Dj — произвольная область из К, такая, что dDj D вф0, то множество dDj Г] о связно. Пусть K'=K{jD. Тогда каждое множество dK(]dDj связно и каждая такая область Dj карты К', кроме
Ї
342
Гл. V. Теория малых сокращений
D, имеет по меньшей мере четыре внутренних ребра в К'- Однако по теореме 4.3 К' содержит не менее двух граничных областей, каждая из которых имеет, самое большее, три внутренних ребра. Следовательно, некоторая область из К', отличная от D, имеет, самое большее, три внутренних ребра, чего не может быть. Такое же рассуждение применимо к области D, такой, что dD п т несвязно.
Из отсутствия вершин степени 2 следует, что если D — произвольная область карты M1 то dD(]dM содержит, самое большее, одно граничное ребро. Если dD содержит некоторое граничное ребро, то j(D)^4. Если dD не имеет ребра в dM, то d (D)~^7.
Применим теорему 3.1 к дуальной карте М* для карты М. Имеем
(5.1) 6 (Qм,-hM.) < 2«. [4 -d (V)] + 2V [6 -d (V)] + + 22л,.[3-ОД] + 2(^.-?м.).
