Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Линдон Р. -> "Комбинаторная теория групп" -> 145

Комбинаторная теория групп - Линдон Р.

Линдон Р., Шупп П. Комбинаторная теория групп. Под редакцией Ремесленникова В.Н. — М.: Мир, 1980. — 447 c.
Скачать (прямая ссылка): kombinatornteor1980.djvu
Предыдущая << 1 .. 139 140 141 142 143 144 < 145 > 146 147 148 149 150 151 .. 202 >> Следующая

(2) Ребра е* карты М* находятся во взаимно однозначном соответствии с внутренними ребрами е карты М.
(3) Области D* карты М* находятся во взаимно однозначном соответствии с внутренними вершинами V карты М, причемv?D*. Если V — внутренняя вершина карты М, то в v имеется d(v) ребер-Каждое из этих ребер пересекается одним ребром из M*, и при этом образуется область D* из M*, такая, что d(D*)=d(v).
3. Основные формулы
329
(4) Граничные вершины и* карты М* находятся во взаимно однозначном соответствии с граничными областями D карты М. Действительно, предположим, что V* получается из области D карты М. Если dD Г\дМф0, то имеется вершина V2^dD Г\дМ и можно построить кривую X, лежащую целиком в D, соединяющую v* с V2 и не пересекающую никакое ребро из M или М*. Кривую X можно поэтому продолжить в —М, лежащее в ¦—М*. Следовательно, V* — граничная вершина для М*. Если dD ПсШ = 0, то любая вершина из dD является внутренней вершиной карты М. Для каждого ребра из dD имеется ребро, исходящее из v* и пересекающее это ребро, и эти ребра связаны последовательностью ребер, проходящих через области, имеющие граничное ребро, исходящее из некоторой вершины на dD. Таким образом, v* — внутренняя вершина карты М*.
(5) Если M имеет h дырок, то М* имеет h или менее дырок.
(6) Если M есть карта типа (р, q), то М* есть карта типа [q, р].
Лемма 3.2. Если M — карта без изолированных вершин, то
? V есть число граничных вершин карты М, a E' — число граничных ребер, взятых с подходящей кратностью. ?
Следствие 3.3. (Формула кривизны.) Пусть M — односвязная lp, qVmpma, содержащая не менее двух вершин. Тогда
(3.3) ^M[L + 2-div)]>P.
? Предположим вначале, что не все вершины карты M изолированные. Пусть M1— подкарта карты М, получающаяся вычеркиванием из M всех изолированных вершин, и Q1-число компонент карты M1. По лемме 3.2 VM,^EMi. Поскольку M является [р, <?]-картой и не имеет дырок, из формулы (3.2) следует, что PQi ^2м, [Р/<7 + 2 — d(v)], поскольку в этой формуле положительным может быть только первый член.
Если имеется Q0 изолированных вершин и M0 состоит из этих вершин, 2м0 [p/Q + 2 — d (v)] = Q0 [p/q + 2]. Если M состоит только из изолированных вершин, Q0 ^ 2. В обоих случаях ^m[p/Q-\~ + 2-d(v)]^p. D
Следствие 3.4. (Формула кривизны.) Пусть M — односвязная (q, р)-карта, содержащая более чем одну область. Тогда
^ [f + 2-1'H
? Пусть М* — карта, дуальная к карте М. Тогда М* есть \р, q]-карта, удовлетворяющая условиям следствия 3.3. Если у* — вер-
330 Гл. V. Теория малых сокращений
шина карты M*, получающаяся из области D карты М, то d(v*\ =i(D), и заключение вытекает из следствия 3.3. ?
Следствия 3.3 и 3.4 лежат в основе теории малых сокращений. Мы будем называть эти результаты «формулой кривизны». Для иллюстрации происхождения этого названия рассмотрим регулярное покрытие T плоскости треугольниками и предположим, что S — произвольная конечная подкарта из Т, границей которой является простая замкнутая кривая. Тогда общая кривизна при обходе всей границы для S равна 2л. Вычислим кривизну другим способом. Пусть V — граничная вершина для 5. Внутренний угол в точке V равен [d(v)—112я/6. Кривизна в точке v равна, таким образом, it—[d(v)—1)2л/б=[4—d(v)]2n/6. Общая кривизна тогда равна 2jt=2s[4—d(v)]2n/6, откуда следует, что '4—d(v)]==6. Все внутренние области для S имеют степень 3, а все внутренние вершины имеют степень 6. Мы показали, что для общей [6, 31-карты М, являющейся односвязной, ^м[4—d(v)]^6. Аналогичная интерпретация применима в случае покрытия плоскости квадратами и шестиугольниками.
4. Алгоритм Дэна и лемма Гриндлингера
Изучая проблему равенства слов для фундаментальных грущу ориентируемых 2-многообразий, Дэн установил, что свободно приЯ веденное слово w, определяющее единицу в фундаментальной группЛ содержит более половины некоторой циклической перестановки^ определяющего соотношения или слова, обратного к нему.
Отсюда получаем алгоритм Дэна для решения проблемы равенства. Предположим, что группа G имеет представление G=(X1,...
хп; R), где R — рекурсивное симметризованное множество определяющих соотношений, причем установлено, что свободно приведенное нетривиальное слово, равное 1 в G, содержит более половины элемента из R. Пусть w — нетривиальное слово из G. Если w=\ в G, то w можно представить в виде w=bcd, где для некоторого г т R имеем r=id и UKIcI. Далее, для каждого такою г имеем |г|<2|до|. Множество S всех слов от X1, хп, имеющих длину менее 2\w\, конечно. Поскольку R рекурсивно, можно эффективно выписать все элементы из R'=Rf\S. Если мы найдем подходящее г, то w=bt~1d в G и bt~ld — слово меньшей длины. Конечное число таких редукций приводит либо к 1, давая «доказательство» того, что w= \ в G, либо к слову w*, длина которого не может быть уменьшена, доказывая тем самым, что да в G отлично от 1.
Наиболее значительный результат теории малых сокращений состоит в том, что алгоритм Дэна сохраняет силу для множеств R, удовлетворяющих или метрическому условию С'(1/6), или условию С (1/4) и T(A). Более того, справедлив существенно более
Предыдущая << 1 .. 139 140 141 142 143 144 < 145 > 146 147 148 149 150 151 .. 202 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed