Комбинаторная теория групп - Линдон Р.
Скачать (прямая ссылка):
Общая геометризация теории малых сокращений принадлежит Линдону (19661. Как мы уже заметили ранее, существование нужного нам типа диаграмм было обнаружено ван Кампеном [1933]. Линдон независимо открыл эти диаграммы и геометрическое значение предположений о малом сокращении. Кроме того, в 1966 году на работу ван Кампена натолкнулся Вайнбаум, сумевший затем применить эти диаграммы для геометрического доказательства леммы Гриндлингера в случае С (1/6). Формула кривизны ^][ (plq)+2— —і (D)X^p принадлежит Линдону [1966].
;a
338 Гл. V. Теория малых сокращений
5. Проблема сопряженности
Изучение сопряженности мы начнем с обсуждения алгоритма найденного Дэном [1912] для решения проблемы сопряженност в фундаментальных группах замкнутых 2-многообразий. Пуст G=(X; R), где X конечно, a R рекурсивно,— группа, в которо работает алгоритм Дэна для решения проблемы равенства. Пуст и' и г' — два элемента группы G. Эти элементы можно эффективны образом заменить сопряженными «иг, являющимися циклическ /^-приведенными словами. Возникают два тривиальных случая; Если и а, иг равны 1, то они, конечно, сопряжены в G. Если ж один из них равен 1, а другой нет, то они, конечно, не сопряжен в G. Проблема равенства сводится, таким образом, к рассмотрена пар нетривиальных циклически /^-приведенных слов. Будем го» ворить, что алгоритм Дэна решает проблему сопряженности в G если существует фиксированное целое k, такое, что выполнен следующее условие:
Два нетривиальных циклически /^-сопряженных слова и и сопряжены в G тогда и только тогда, когда существуют циклич" ские перестановки и* и г* слов и и г соответственно, такие, ч u*=cz*c~1 в G, где с — подслово некоторого r?R, удовлетворя щего неравенству на длины И<;&тах(|и|, |г[).
Приведенное условие влечет за собой разрешимость проблеи сопряженности по следующей причине. Поскольку X конечно имеется лишь конечное число элементов r?R, удовлетворяют^ данному ограничению на длины, а из рекурсивности множества следует, что все такие элементы г могут быть эффективно найдены Ввиду разрешимости проблемы равенства в G тогда можно решить выполняется ли выписанное выше равенство для произвольны перестановок элементов и* иг* и произвольного из конечно^ числа элементов с, подлежащих рассмотрению.
Гриндлингер [1960] показал, что алгоритм Дэна решает про± блему сопряженности для случая, когда F — свободная групп и R удовлетворяет условию С (1/8). Гриндлингер [1965, 1966] п казал, что незначительное обобщение алгоритма Дэна решает пр блему сопряженности для R, удовлетворяющего условию С (1/6 и конъюнкции условий С (1/4) и T (4) соответственно. Геометрич* ское доказательство этих результатов дано Шуппом [1970].
Перейдем к интерпретации сопряженности в терминах диаграмм Назовем связную карту M кольцевой картой, если —M состой в точности из двух компонент. Пусть M — некоторая кольцева карта. Буквой К обозначим неограниченную, а буквой H ограни ченную компоненты множества—М. Назовем дМГ\дК внешней а дМГ\дН внутренней границей карты М. Цикл минимально длины (т. е. без самопересечений), содержащий все ребра внешне (внутренней) границы карты М,— это внешний (внутренний
5. Проблема сопряженности
339
граничный цикл карты М. (Здесь следует сказать об ориентации. Ориентация граничных циклов находится в соответствии с ориентацией карты М. Таким образом, внешние граничные циклы направлены против часовой стрелки, а внутренние — по часовой стрелке.)
Пусть F — свободная группа и R — симметризованное подмножество ее элементов. Как обычно, N обозначает нормальное замыкание множества R в F, a G — факторгруппу FlN. Убедимся в том, что кольцевые диаграммы — удовлетворительное средство для изучения сопряженности в G.
Лемма 5.1. Пусть M — кольцевая R-диаграмма. Если и — метка на внешнем граничном цикле для М, a z_l — метка на внутреннем граничном цикле для М, то и и г сопряжены в G.
? Поскольку M связна, существует простой путь ?, соединяющий внешнюю границу для M с внутренней границей для М. Допустим, что ? начинается в вершине V1 и кончается в вершине V2. Пусть
а — внешний граничный цикл для М, начинающийся в V1, и т — внутренний граничный цикл для М, начинающийся в V2- Положим ф(о)=«ь 9(T)=Zf1 и cp(?)=o.
Разрезом вдоль пути ? перейдем от M к связной односвязной карте M' (см. рис. 5.1). Граничный цикл для M' равен o?r?-1, так что U1Oz11O-1^N по лемме 1.2. Теперь результат следует из того, что U1 и Z1 — сопряженные элементов UHZ соответственно. ?
Лемма 5.2. Пусть и и z — два циклически приведенных слова из F, не лежащие в N и не являющиеся сопряженными в F. Если и uz , представляют некоторые сопряженные элементы группы G, то существует приведенная кольцевая R-диаграмма М, содержащая не менее одной области, такая, что если O=C1 ... es и т=Д ... • • • fk — соответственно внешний и внутренний граничные циклы карты М, то произведение q>(d) ••• <p(es) приведено и является сопряженным элемента и, а произведение Cp(Z1) ... ср(/ь) приведено и является сопряженным элемента z~l.
м
M'
Рис. 5.1.
340
Гл. V. Теория малых сокращении
