Комбинаторная теория групп - Линдон Р.
Скачать (прямая ссылка):
(5) пять непересекающихся подслое, четыре из Komopbix>3/6R и odno>4/6R, или
(6) шесть непересекающихся подслое, каждое из Komopbix>3/GR.
? Укажем схему доказательства. С геометрической точки зрения настоящая теорема является незначительным усилением предыдущей теоремы в частном случае, когда/? удовлетворяет условию С (1/6). Пусть до' — циклическая перестановка элемента до и M — диаграмма минимальной /^-последовательности для до'. Подслово s слова до', такое, что s>(j/6)R, получается из области D такой, что i'(D)=6—/. Решающим обстоятельством является то, что если M не содержит ни одной области внутренней степени 0 или 1, то результат получается из теоремы 4.4 прямым вычислением. Например, если все области D, которые дают положительный вклад в сумму 2лЛ4—і (D)], имеют внутреннюю степень 3, то таких областей должно быть не меньще шести.
336
Гл. V. Теория малых сокращений
Хотя заключение данной теоремы сформулировано в терминах подслов, мы можем мыслить о каждой из возможностей (1) — щ как об условии на области, дающие положительный вклад в сумму 2*aJ4—і(D)I. Например, (3) утверждает, что /И содержит не менее трех областей, имеющих внутреннюю степень не более 2 и таких что пересечение каждой из границ этих областей с дМ является последовательной частью этой границы.
Имея это в виду, докажем индукцией по числу т областей из УИ, что УИ содержит области, необходимые для выполнения заключения теоремы. Если m=l, то w' ?R. Если /п=2, то в /И имеется две области, обе внутренней степени 0 или 1, и имеет место случай (2) из заключения теоремы. Предположим теперь, что т^З. Как мы заметили выше, если УИ не содержит областей внутренней степени О или 1, то заключение вытекает из теоремы 4.4. Предположим теперь, что M содержит некоторую область D,, для которой г (Di) = I. Построим карту M', удаляя D1 и сЮх Г) дМ из УИ. По предположению индукции теорема для УИ' верна. Однако нетрудно заметить, что карта, полученная присоединением области к одному ребру карты, удовлетворяющей заключениям (1) — (6), также удовлетворяет этим заключениям.
Допустим, наконец, что УИ содержит область внутренней степени 0. Тогда о/И не является простым замкнутым путем, так что в УИ имеется по меньшей мере два экстремальных круга. По предположению индукции каждый из этих кругов удовлетворяет одному из условий (1) — (6). Поскольку экстремальный круг прикреплен к остальной части карты УИ в одной вершине, легко проверить, что M должна удовлетворять одному из требуемых заключений. ?
Похожий анализ дает соответствующую теорему в случае выполнения условий С (1/4) и Г (4) (см. статью Гриндлингера [1965]).
Теорема 4.6. Пусть R удовлетворяет С (1 /4) и T(А). Допустим, что w — нетривиальное циклически приведенное слово, такое, что w?N. Тогда либо
(1) о> Є Я,
либо некоторая циклическая перестановка w* слова w содержит или
(2) два непересекающихся подслова,каждое из которых >(3/4)#, или
(4) четыре непересекающихся подслова, каждое из которых^ (1/2)/?. ?
Для групп G= (X; R), в которых применим алгоритм Дэна, имеется весьма естественное определение понятия «приведенный»
Определение. Слово w от порождающих X называется R-npw. денным, если w свободно приведено и не содержит подслова s такого, что s>(\?)R. Назовем w циклически R-приведенным, есл
4. Алгоритм Дэна и лемма Гриндлингера
337
хт циклически приведено в свободной группе и все его циклические перестановки являются /^-приведенными.
Заметим, что, согласно алгоритму Дэна, единственное ^-приведенное слово, равное единице в g,— это сама единица. Кроме того, если X конечно, a R рекурсивно, то от слова w можно эффективным образом перейти к /^-приведенному слову, равному w в G. а именно следует все время заменять подслова, которые >(l/2)R, более короткими словами, равными им в нашей группе. Вообще говоря, разные /^-приведенные слова могут представлять один и тот же элемент группы. Например, если
g = <oj, Zj1, а2, b.2; Of1Of1U1(j1Oa1O2-1U2^2),
E ТО
O1-1Zj1-1O1Zj1 = o2-1O2-1o2O2.
Укажем историческую последовательность идей настоящего раздела.
Методы Дэна [1911, 19121 были геометрическими. Он использовал тот факт, что с фундаментальной группой g ориентируемого замкнутого 2-многообразия связано регулярное покрытие гиперболической плоскости, составленное из преобразованных экземпляров фундаментальной области для g. Используя гиперболическую метрику, Дэн установил, что нетривиальное слово w, равное 1 в g, содержит более половины элемента из R. Райдемайстер [1932] указал, что заключение Дэна следует из комбинаторных свойств мозаик без метрических соображений.
В. А. Тартаковский [1949] начал алгебраическое изучение теории малых сокращений. Тартаковский решил проблему равенства для конечно представленных факторгрупп свободных произведений циклических групп по симметризованному R, удовлетворяющему условию C(I). Бриттон [1957] независимо исследовал факторгруппы произвольных свободных произведений по R, удовлетворяющему С (1/6). Условие треугольника T(4) было введено Шиком [19561, решившим проблему равенства для R, удовлетворяющего С'(1/4) и Г (4). Гриндлингер [1960] доказал лемму Гриндлингера и получил несколько других важных результатов. Позднее 11964, 1965] он изучил условие С" (1/4) и T (4).
