Комбинаторная теория групп - Линдон Р.
Скачать (прямая ссылка):
Если D-область карты Mf, / = 1, 2, то dD Л dMj = dD (]дМ, кроме случая D = E. Единственная область, общая для M1 и M2,— это Е, и і (E) не менее 1 как в M1, так и в M2.
Применяя предположение индукции к M1 и M2, получаем
Худший вариант — это когда E встречается в обеих суммах и в каждой і (?) = 1. Тогда
D Ф.Е D Ф E
Этим доказательство теоремы в случае, когда дМ — простая замкнутая кривая, полностью завершено.
Если граница для M не является простой замкнутой кривой, по лемме 4.2 в карте M имеется не менее двух экстремальных кругов, скажем K1 и K2. Если некоторое K1 состоит из единственной области D0, то dDu D дМ — последовательная часть границы дМ и 2^i [р/2 +1-і (D)] = р/2 + 1. Если некоторое K1 содержит более одной области, то ^k1-[р/2 + I —i (D)]^ р по первой части доказательства теоремы. Поскольку экстремальный круг связан с остальной частью карты M единственной вершиной, в K1 может быть не более одной области ?, такой, что дЕ П дК,- — последовательная часть в дК(, но дЕ П дМ не является последовательной частью для дМ. Собирая вместе вклады кругов K1 и K2, получаем ^[p/q+ 2 —і (D)]^i p. Q
Определение. Слово s называется j-остаточным (по отношению к R), если некоторое г ? R имеет вид T=Sb1 ... bJt где bu ..., bj — .куски.
Смысл этого определения раскрывается в следующей теореме.
Теорема 4.4. Пусть F — свободная группа. Пусть R — сим-метризованное подмножество из F и N — его нормальное замыкание. Предположим, что R удовлетворяет условиям С(р) и T(q), где (р, ц) — одна из пар (6,3), (4,4), (3,6).
334
Гл. V. Теория малых сокращений
Если w?N, тф\, то некоторая циклическая перестановка слова w либо лежит в R, либо имеет вид w*=u1s1 ... UnSn, где к doe sA является i(sh)-ocmamo4HbiM. Число п элементов Sn и чи i(sh) удовлетворяют соотношению
п
L [J+ 2-і(sk)]^р.
В частности, если R удовлетворяет условиям (i) С (X) для X =?; или (H) C(X) и T (4) для А< I,
то каждый нетривиальный элемент w?N содержит подслово. некоторого г ZR, такое, что,
(i) |s|>(l_3X)|r|>4|r| или
(H) |s|>(l-2X)|r|>-i|r|.
? Пусть w — нетривиальный элемент из N и w' — его цикличес~ приведенная перестановка. Пусть M—диаграмма минимально, /^-последовательности для и/. Тогда либо M состоит из единственной области, и тогда w' Z R, либо M удовлетворяет условиям теоремы 4.3.
Пусть D — область из М, такая, что a=dD Г\дМ — последовательная часть границы дМ. Предположим, что а начинается в вершине Vi и оканчивается в V2- Поскольку dD по лемме 4.1 является простым замкнутым путем, существует граничный цикл от области D. Запишем s=(p (о) и г=ср (т). Теперь st Z R, так как этот элемент — метка для D. Таким образом, s — подслово элемента из R.
Если а — произвольный граничный цикл для М, то <р(<х) циклически приведенная перестановка w* элемента w'. Преді ложим, что а начинается в вершине v0, не являющейся внутренн по отношению к дуге о. Из того, что а — последовательная ча для дМ, выводим, что Cx=CX1Oa2. Таким образом, s — также подсло
ДЛЯ W*.
Зададимся вопросом, насколько велико подслово s. Мы знаем, что метка на внутреннем ребре является куском. Если i(D)=jt то t — произведение / кусков и s является /-остаточным. :
Выберем какой-нибудь граничный цикл а, который не начинается ни в какой вершине, внутренней к некоторой дуге вида dD Г\дМ. Тогда для всех D, таких, что dDf]dM — последовательная часть для М, элемент cp(dD Г\дМ) является подсловом в слове йУ*=ср(сх) и, кроме того, /-остаточен, где j=i(D). Тогда первая часть теоремы следует из формулы ^мІрІд+2—і (D)]^p.
4. Алгоритм Дэна и лемма Гриндлингера
335
В условиях С (к), 1/6, имеем (q, /?) = (3, 6), и формула принимает вид
2*м [4-і (D)] > 6.
Для того чтобы имело место неравенство, должны быть по крайней мере две области Dh, для которых i(Dh)^3. Соответствующие слова sh имеют длины, большие, чем (1—3A.)|/"ftl. При выполнении условий С' (X), Х<1/4, и T(4) имеем2*m[3—t'(?>)]>4. Отсюда следует наличие по меньшей мере двух областей, таких, что i(D)^2.
В любом случае для wQN запишем до=идо'«_1, где слово до' циклически приведено. Поскольку подходящая циклическая перестановка слова до' содержит по меньшей мере два вхождения более чем половины элемента из R, отсюда следует, что до' содержит по меньшей мере одно такое вхождение. ?
Если s — слово из F, то обозначение s>cR, где с — рациональное число, указывает на то, что существует г QR, приведенная форма которого имеет вид r=st и |s|>c|r|.
Более детальный анализ числа областей и чисел г (D), необходимых для того, чтобы выполнялось неравенство 2м(4—і(D)I^6, влечет за собой такой результат.
Теорема 4.5. (Лемма Гриндлингера для 1/6-групп.) Пусть R удовлетворяет условиюС (1/6). Предположим, что до— нетривиальное циклически приведенное слово, такое, что wQN. Тогда либо
(1) wQR,
либо некоторая циклически приведенная перестановка до* элемента w содержит одно из следующих:
(2) два непересекающихся подслова, каждое из которых> (5/6)R,
(3) три непересекающихся подслова, каждое из которых> (4/6)/?,
(4) четыре непересекающихся подслова, два из которых> (4/6)R и dea>3/6R.
