Комбинаторная теория групп - Линдон Р.
Скачать (прямая ссылка):
Нам понадобится еще одно соображение относительно группы С и отображения введенных в случае ненулевой суммы показателей. По теореме о свободе элемент Ь имеет бесконечный порядок в G. Таким образом, группа С'=(/, Ь, с, . . ., х; г, Ь=ха) является свободным произведением группы G и бесконечной циклической группы Oc) со склейкой подгрупп при Ь=ха. Однако С получается из С при помощи преобразований Тице, заключающихся в добавлении нового порождающего у и нового определяющего соотношения t=yx-V и удалении затем порождающих b и t с заменой их в г на ха и ух-$. Таким образом, отображение : G-vC является вложением.
Обратимся теперь к теореме Карраса, Магнуса и Солитэра [I960], дающей характеризацию элементов конечного порядка в группах с одним определяющим соотношением.
Теорема 5.2. Пусть G= (t, Ъ, с, . . .; г), где г циклически приведено. Группа G является группой без кручения, если г не является собственной степенью в свободной группе it, b, с, . . .). Если г= =«", п>\, где и само не является собственной степенью, то и имеет порядок п в G и все элементы конечного порядка в G сопряжены со степенями элемента и.
? Эта теорема практически непосредственно вытекает из теоремы, характеризующей элементы конечного порядка в HNN-rpynnax. Доказательство, конечно, проводится индукцией по длине слова г. Если г включает в себя только один порождающий, то теорема верна. Поэтому можно предполагать, что г включает в себя по меньшей мере два порождающих t и Ъ. Если г содержит некоторый порождающий, скажем t, в суммарной степени, равной нулю, то, как и прежде,
274_Гл. IV. Свободные произведения и HNN-расширения
G можно рассмотреть как HNN-расширение с базой ;j
# = <ЬД, Ьт, ct, ... (i QZ); S= 1>, j
где s — это г в переписанном виде. Заметим, что s является я-й сте-| пенью в том и только том случае, когда г есть я-я степень. По пред-' положению индукции H и, следовательно, G — группы без кручения, если только г не является собственной степенью. Если г=и", п>\ (где и не является собственной степенью), ТО S=v", где V — результат переписывания слова и. Предположение индукции гарантирует, что единственные элементы конечного порядка в Я и, следовательно, в G — это сопряженные степеней элемента и, причем V имеет порядок я. Поскольку в G имеем u=v, все в порядке.
В случае когда ни один порождающий не встречается в г с суммой показателей, равной 0, следует перейти к группе
C = (у, х, с, ... ; г (ух-ї, ха, с, ... )>
так, как это делалось выше. В этом случае элемент T1— циклически приведенная форма элемента г(ух~^, ха, с, . . .) — является я-й степенью в том и только том случае, когда г есть я-я степень. Из инъективности отображения ? : G->C следует, как и в предыдущем случае, что G не имеет кручения, если только г не является собственной степенью. Если г=и", я>1, то запишем rt=u'l. Поскольку (и) сопряжен с U1, то и имеет порядок я в G. Остается только показать, что все элементы из G, имеющие конечные порядки, сопряжены со степенями элемента и. Нам нужно проверить, что если два элемента из 1P(G) сопряжены в С, то они сопряжены и в G. Для этого, как и при рассмотрении отображения W, запишем
C = <G*<x>; b = xa>.
Предположим, что cgc-1=^, где g, g' Q G. Пусть C=Ci ¦ . • ck— пр: веденная форма для с в смысле свободного произведения с объед ненной подгруппой. Имеем
Ci- ¦ -CkgCk1- ¦ -сг1 = ^-
Без потери общности можно предполагать, что ch=xJ. По теоре" о нормальной форме для свободных произведений с объединенно подгруппой приведенное выше равенство может иметь место лип., в том случае, когда g лежит в объединяемой подгруппе. В этом сл" чае xJgx~J=xJxmx~J=g. Поскольку cft_i=giGG,
Ci- ¦ -ck-t {gtggr^Ckl, - - •C1-1 = /,
так что доказываемый результат получается индукцией по дли элемента с. ?
5. Группы с одним определяющим соотношением 275
Займемся теперь проблемой равенства слов. Напомним, что проблема вхождения элементов рекурсивно представленной группы Я= (S; D) в некоторую подгруппу К называется разрешимой, если существует алгоритм, который по данному слову w в алфавите S определяет, верно или нет, что w ? К. Для простоты будем говорить, что К разрешима в Я, если разрешима проблема вхождения элементов из Я в К-
Обсуждая основные свойства HNN-расширений, мы сделали следующее наблюдение. Пусть Я — группа с разрешимой проблемой равенства. Предположим, что XuY — подгруппы группы Я, разрешимые в этой группе, и 6 : X-^-Y — рекурсивный изоморфизм. Тогда в HNN-расширении
G = <H, t; ^1Xt = Y, 8>
разрешима проблема равенства слов. (Дело в том, что процесс осуществления ^-редукций при сделанных предположениях эффективен.)
В процессе представления группы G с одним определяющим соотношением в виде HNN-расширения некоторой другой группы Я-с более коротким определяющим соотношением связанные подгруппы были порождены подмножествами порождающих группы Я. Это побуждает нас рассмотреть проблему вхождения именно в такие подгруппы.
Теорема 5.3. Пусть G= (t, Ь, с,. , .; г) — счетно порожденная группа с одним определяющим соотношением, причем г циклически приведено. Если M — подгруппа, порожденная некоторым рекурсивным подмножеством L заданного порождающего множества для G, то проблема вхождения элементов из G в M разрешима.
