Комбинаторная теория групп - Линдон Р.
Скачать (прямая ссылка):
П Предположим, что в G выполняется равенство w=v и в v отсутствует некоторый порождающий, скажем t, встречающийся в w,
5. Группы с одним определяющим соотношением 279
280
Гл. IV. Свободные произведения и HNN-расширения
но отсутствующий в определяющем слове т. Пусть К — подгруппа в группе G, порожденная всеми порождающими, за исключением t. Тогда G=K* (/> и V ? К. Запишем до в слоговой форме в свободном произведении: W=W1 . . . wn, где некоторое Wj является нетривиальной степенью порождающего /. По теореме о нормальной форме для свободных произведений равенство w=v может выполняться лишь в том случае, когда для некоторого і в К верно равенство W1 = I. Однако если заключение теоремы верно для равенства до*-=], то оно верно и для равенства w=v. Итак, нам нужно рассмотреть лишь случай таких равенств, в которых отсутствует порождающий, встречающийся в определяющем соотношении г". Доказательство, естественно, будет проводиться индукцией по длине слова г. Если Г содержит только один порождающий, то результат верен, так что можно предполагать, что слово г содержит не менее двух порождающих. А
Случай 1. Рассмотрим сначала случай, когда некоторый пороЛ дающий / содержится в г так, что а< (/")==0. Как и прежде, будем рав сматривать G как HNN-группу с базой щ
H = Kb11.....bm, ci7 ... (і Є Z); Р"=\>. 1
Связанные подгруппы X и Y свободно порождены множествам {6ц, •••> й„-1, ct, ... (igZ)} и Ib11+1, .... Ья, C1, ... (f'gZfl соответственно. ¦
Предположим, что w—свободно приведенное слово от /, b, с,. щ и что w (t, b, ...) = v(b, ...), где t входит в w, но не входя в v. Из равенства w(t, b0, ...) = v(b0, ...) следует, что w можЯ быть /-редукциями сведено к /-свободному слову w*. Под /-редукцией, являющейся просто сдвигом индексов, мы понимаем замену подслова teu(b[, C1, ...)/-8, е = ±1, на u(bi+E, ci+E, ...), где все порождающие, встречающиеся в и, в явном виде встречаются среди заданных порождающих группы X (если є = 1) или Y (если є = — 1). Смысл рассмотрения таких редукций состоит втом, что если до' получается из до /-редукциями, являющимися пр<"-го сдвигом индексов, то до может быть получено из до' заменой элементов bt, с,-, ... в до' на t'b0t~', t'c0t-'\ ... и последующим свободным приведением, причем единственные буквы, которые могут сократиться при свободном приведении,— это /-символы.
Произведем в первоначальном слове до все возможные /-редукции, которые являются просто сдвигом индексов. Предположим, что мы пришли к такому слову до', к которому подобные редукции уже не применимы, но до' все еще не является /-приведенным. Тогда до' содержит подслово tEut~e, где и /-свободно, и и само не является словом от заданных порождающих групп X или Y (в зависимости от є), но равно некоторому слову г от этих порождающих. Таким образом, в z отсутствует некоторый пороЖ'
5. Группы с одним определяющим соотношением
281
дающий группы Я, встречающийся в и, и в Я имеет место равенство и = 2. По предположению индукции и содержит подслово Q слова Р±п нужной длины. Поскольку для получения до' мы просто сдвигали индексы, слово до может быть восстановлено по до' заменой каждого bh ... на t'b0t~', ... и последующего свободного приведения, при котором сокращаются только /-символы. Заметим, что подслово S слова и, восстанавливающееся из Q, будет содержать подслово слова г±п желаемой длины, даже если мы не будем принимать во внимание никакие вхождения букв /±' в начале или в конце слова 5.
Если до приводится к /-свободному слову до* простым сдвигом индексов, то до* обязано содержать некоторый порождающий с ненулевым индексом и до* = v в Я. По предположению индукции w* обязано содержать подслово Q слова Р±п нужной длины. Как и прежде, отсюда следует, что до содержит подходящее подслово 5 слова г±п и, более того, 5 можно выбрать так, чтобы оно не начиналось и не оканчивалось на /±4 (Позже нам понадобится тот факт, что подслово S можно выбрать так, чтобы оно не начиналось и не кончалось на проходную букву /.)
Предположим теперь, что равенство до(/, b0, с0, ...) = = и(/, с0, ...) выполняется в группе G, причем Ь0 входит в до, но не входит в v. По лемме Бриттона ot(w) = ст4(г/) = адля какого-то а. Следовательно, wt~a = vt~a. Поскольку в слове vt~a сумма показателей при вхождениях буквы t равна 0, оно не содержит ^,-символов и его можно переписать в виде /-свободного слова и* сдвигом индексов. В G выполняется равенство wt~a = v*. Как и ранее, если до/_а не сводится к /-свободному слову сдвигом индексов, то wt~a обязано содержать подслово 5 слова г±п необходимой длины, не начинающееся и не оканчивающееся на t±x. Из последнего условия получаем, что 5—подслово слова до. Если wt~a сводится к /-свободному слову до* сдвигом индексов, то некоторое Ь,- встречается в до*. Из равенства до* = v* в Я, согласно предположению индукции, получаем, что до* содержит подслово Q слова Р±п желаемой длины. Как и в первой части настоящего абзаца, в этом случае в до содержится подслово 5 слова г±п нужной длины, причем S не начинается и не оканчивается на t±x.
