Комбинаторная теория групп - Линдон Р.
Скачать (прямая ссылка):
? Как обычно, доказательство проводится индукцией по длине определяющего слова г. Если г содержит только один порождающий, то G является свободным произведением свободной и конечной циклической групп. Из теоремы о нормальной форме для свободных произведений следует тогда, что в этом случае теорема имеет место. Рассмотрим теперь случай, когда сумма показателей слова г относительно некоторого порождающего, скажем t, равна нулю. Как и прежде, рассмотрим группу G как HNN-расширение
G = <H, t; 1-1Xt = Yy,
где группа Я с одним определяющим соотношением имеет более короткое определяющее соотношение. Заметим, что к подгруппам X и. Y группы H может быть применено предположение индукции. Значит, процесс осуществления ^-редукций в G эффективен. В частности, проблема равенства слов в G разрешима.
276_Гл. ГУ. Свободные произведения и HNN-расширения
Для множества L имеются три возможности. Сначала будем предполагать, что L содержит все порождающие , входящие в г. Тогда G является свободным произведением группы Gi, зависящей от порождающих, действительно встречающихся в г, и свободной группы G2, порожденной множеством S остальных порождающих. Используя разрешимость проблемы равенства слов в G, можно эффективно вычислить нормальную форму W=W1 . . . Wn произвольного элемента w этой группы как свободного произведения. По теореме о нормальной форме для свободных произведений и благодаря тому, что G2 свободна, получаем, что w Q K=GpL тогда и только тогда, ко~ да Wi Q Gp (L n S) для каждой нормальной компоненты W1, лежаще в G2. Поскольку L D S — рекурсивное подмножество свободно порождающего множества для G2, группа Gp (L Л S) разрешима G2.
Вторая возможность состоит в том, что в L={Ь, с, . . .} не входи буква /. В этом случае, отождествляя Ь с Ь0 и т. д., видим, что содержится в базе H группы G. По предположению индукции под группа K=Gp L разрешима в Н. Если теперь дано произвольн слово w из G, то эффективно вычислима его /-приведенная форм w*, равная слову w в G. По лемме Бриттона w Q К тогда и только то да, когда w* является /-свободным. В этом же последнем случае м можем решить, принадлежит w* подгруппе К или нет.
Наконец, имеется возможность, когда L = {t, с, . . .} содержит проходную букву /, но не содержит некоторый порождающий, скажем Ь, встречающийся в г. Используя обозначения, введенные для процесса переписывания, мы можем предполагать, что b — порождающий с ограниченной областью значений индекса. Пусть w — произвольное слово из G. Поскольку / Q L, то w Q K=Gp L тогда и только тогда, когда W1=Wt~а Q К, гд& a=ot(w). Таким образом at(w1)=0. Если W1QK, то w равняется некоторому слову, в кото ром не содержится никакое Ь. Решающее соображение состоит следующем. Поскольку b — порождающий с ограниченной обл стью значений индекса, из леммы Бриттона следует, что применен" всевозможных /-редукций в слове W1QK с а((аух)=0 приводит /-свободному слову w\. Пусть L* = {ct, . ..(iQZ)}sH и K*=Gp L* Группа К* разрешима в Я по предположению индукции. Подвод итог всему проделанному, получаем, что w Q К тогда и только тогд" когда w{ QK*. Тем самым доказательство для случая нулевой сумм' показателей относительно некоторого порождающего закончен
Предположим теперь, что все порождающие встречаются в с суммой показателей, отличной от нуля, и что M — подгрупп порожденная множеством L={Ь, с, . . .}. Снова рассмотрим груп С. Поскольку отображение W : G-+C — вложение, w(t, b, с, ...) Q тогда и только тогда, когда w(yx~^, х~а, с, . . .)Q W (M). Как в предыдущем случае, подгруппа К, порожденная множество {х , с, . . .}, разрешима в С. Поскольку К свободно порожден
5. Группы с одним определяющим соотношением
277
этими порождающими, подгруппа 4(M), порожденная множеством (Xа, с, . . .}, разрешима в К и, следовательно, в С. Таким образом, /ii разрешима в G. Этим доказательство теоремы закончено. ?
Читатель, несомненно, заметил, что при работе с группами, определенными одним соотношением, в основном приходится иметь дело с подгруппами, порожденными частью порождающего множества группы, не содержащей некоторого порождающего, входящего в запись определяющего соотношения.
Определение. Пусть G= (X; г), где г циклически приведено. Подгруппа M группы G называется подгруппой Магнуса, если она порождена подмножеством L множества X, в котором отсутствует по меньшей мере один порождающий, входящий в запись слова г.
Для перехода к новой теме переключим сначала внимание на свободные произведения. Пусть Р=А*В — нетривиальное свободное произведение. Используя теорему о нормальной форме для свободных произведений, нетрудно проверить, что если CQP—А, то сАс~хГ)A = {\}. Обобщением этого свойства является определение антинормальной подгруппы К группы G как такой подгруппы, что из g^K следует gKg~* П К={1}- Из сделанного выше замечания вытекает, что если F= (X > — свободная группа с базисом X и Y^X, то подгруппа К, порожденная множеством Y, антинормальна в F. Б. Ньюман [1968] показал, что если G — группа с одним определяющим соотношением и с кручением, то любая подгруппа Магнуса этой группы антинормальна в ней. В связи с этим докажем удивительно общий результат Багерзаде [1973].
