Комбинаторная теория групп - Линдон Р.
Скачать (прямая ссылка):
Теорема 5.4. Пусть G= (t, Ь, с, . . .; г), где г циклически приведено. Если M — подгруппа Магнуса в G и g^M, то gMg~l n M — циклическая группа.
? По теореме о свободе и сделанным выше замечаниям достаточно доказать эту теорему для подгрупп М, порожденных множествами, содержащими все порождающие группы G, за исключением одного, входящего при этом в запись слова г. На дальнейшее примем такое соглашение об обозначениях: будем считать, что Ь встречается в записи слова г и что M — подгруппа, порожденная всеми порождающими, за исключением Ь.
Как всегда, проводим индукцию по длине слова г. Если г включает в себя лишь один порождающий, то либо G=M, либо G является свободным произведением свободной группы M и некоторой нетривиальной конечной циклической подгруппы. В этом случае наш Результат вытекает из замечаний об антинормальности, предшествующих формулировке теоремы.
Теперь нам нужно рассмотреть случай, когда г включает в себя в точности два порождающих, скажем Ь и t. В этом случае G является
278
Гл. IV. Свободные произведения и HNN-расширения
hhm
Щ
свободным произведением групп M и K= (b, t; г), в котором объеди-нена циклическая подгруппа (t). Сокращенно
G = <M*K; t = t>.
Предположим, что g^M и gmg-1=m', где m, т' QM. Запишем =gigi ¦ • ¦ ёп в виДе приведенной формы в свободном произведении с объединенной подгруппой. Без потери общности можно считать, ЧТО gnQK. Предположим сначала, что /2=1. Имеем
gimgr>- = m'.
По теореме о нормальной форме для свободных произведений^ объединенной подгруппой данное равенство может выполнят!™ лишь тогда, когда т лежит в объединенной подгруппе. Следовате| но, m=tk для некоторого целого k. Таким образом, gMg~x[ и теорема доказана.
Предположим теперь, что гС^2. Имеем
Si- ¦ -gn-ignmgnlgn-i-. .grl = m'.
Как и прежде, gnmgn1==tk Для некоторого k. Снова применяя теор му о нормальной форме, видим, что gn_1lkgnii должно равнять степени элемента t. Поскольку M — свободная группа, сопряжен| элементом QM может переводить степень элемента t в степег элемента t лишь в том случае, когда g„-j = tc. Однако это противоречит тому, что gn_l — часть приведенной формы для g.
Предположим теперь, что г включает в себя по меньшей мере три порождающих, скажем /, Ь и с. Предположим, что один из порождающих, отличных от Ь, например t, входит в г с суммарной степенью 0. Как и прежде, представим G в виде HNN-расширения
G = <H, t\ tXt~1 = Y>.
Допустим, что для некоторого g Q G—M группа J=gMg~* П M циклична. Поскольку M свободна, a J лежит в M и не являет циклической, то У — свободная группа ранга не менее 2. Следов тельно, коммутант J' группы J — свободная нециклическая группг Далее,
(1) J' є gM'g-1 П M',
где M' — коммутант группы М. Решающее замечание: поскольку в M не содержится b и все элементы из M' имеют суммарную степень 0 по t, группа M' содержится в базе Н. Фактически M's H*, где Н* — подгруппа Магнуса группы Н, порожденная множеством порождающих, не содержащим ни одного Ь{. Заметим также, что Н* s ХГ\У.
Сопрягая обе части равенства (1) элементом g, получаем
(2) g-4'gsM'Og-1M'g.
г
Предположим, что g имеет HNN-длину 0, т.е. что gQH. Поскольку g^M, то и g^M'. Используя предположение индукции, получаем противоречие, состоящее в том, что Я* — подгруппа ДОагнуса в Я, a g~xJ'g—нециклическая группа. Предположим теперь, что
g_1 = g0<E,gi- ¦¦^gn
— HNN-приведенная форма, п~^\. Если gnQ М, то tE"gnM'g^1/-6" = gM", что позволяет заменить g-1 элементом g0.. .^n-Ign-1 более короткой длины. Поэтому можно предполагать, что gn^M. В частности, g не лежит ни в одной из связанных подгрупп X или У- Для определенности предположим, что е„=1. Для каждого JQJ' имеем
gu^...tgnignH-\..g-xQM'.
По лемме Бриттона это может случиться лишь в том случае, когда gJgn'-QX. Поскольку J'sM'sX, имеем ,/'^g-1Xgn П X, что противоречит предположению индукции.
Тем самым доказательство завершено в случае, когда некоторый порождающий, отличный от Ь, встречающийся в записи слова г, имеет суммарную степень 0. В доказательстве использован существенным образом тот факт, что порождающий Ь, не содержащийся в М, стал порождающим группы Я с ограниченной областью значений индекса. Если в г нет порождающего, отличного от Ь, с суммарной степенью 0, то нужно использовать то, что в записи г содержится по меньшей мере два порождающих tue, отличных от Ь. Используем стандартный прием превращения суммы показателей в 0 при помощи порождающих tue. Отображение Y: G->-C вкладывает подгруппу M группы G в подгруппу Магнуса М* группы С, где снова опущенный порождающий — порождающий с ограниченной областью значений индекса, если записывать С как HNN-pac-ширение. Теперь доказываемый результат получается, как и в предыдущем случае. ?
В случае групп с одним определяющим соотношением и с кручением очень точное решение проблемы равенства слов дается «орфографической теоремой» Б. Ньюмана [1968].
Теорема 5.5. Пусть G= (t, b, с, . . .; г"=1), где г циклически приведено и п>\. Предположим, что ю=и в G, причем слово w сво-I , бодно приведено в алфавите {i,b,c, . . .} , а в v нет некоторого порождающего, встречающегося в w. Тогда w содержит подслово S, одновременно являющееся и подсловом слова г±п, имеющее длину, более чем в (п—I)In раз превосходящую длину слова гп,
