Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Линдон Р. -> "Комбинаторная теория групп" -> 126

Комбинаторная теория групп - Линдон Р.

Линдон Р., Шупп П. Комбинаторная теория групп. Под редакцией Ремесленникова В.Н. — М.: Мир, 1980. — 447 c.
Скачать (прямая ссылка): kombinatornteor1980.djvu
Предыдущая << 1 .. 120 121 122 123 124 125 < 126 > 127 128 129 130 131 132 .. 202 >> Следующая

Случай 2. Предположим, наконец, что все порождающие, встречающиеся в г, имеют ненулевую суммарную степень. Пусть в G выполняется равенство до(/, Ь, ...) = &(&,...), где / входит в до, но не входит в v. Пусть a = ot(r) и ? = ab(r). Отображение W, определенное посредством t\-*yx~&, & і—»- Xе*, сі—>с, ...,является вложением группы G в группу C = <г/, х,с,...;г1 (ух~^, ха,с, ...)>. Пусть до' — результат свободного приведения слова до(ух~р, ха, с, ...) и v' — слово v{xa, с, ...). Слово до' содержит вхождение буквы у, а и' —нет. Как и в случае I1 до' содержит подслово Q'
май :-.
282 Гл. IV. Свободные произведения и HNN-расширения
слова г±п(ух~Р, Xа, с, ...) нужной длины, причем Q' не начинается и не оканчивается на x±l. Отсюда следует, что w содержит необходимое подслово слова г±п. ?
Доказанная теорема была использована Б. Ньюманом [1968] для решения проблемы сопряженности в группах с одним определяющим соотношением и кручением. Проблема сопряженности для групп с одним определяющим соотношением, являющихся свободным произведением двух конечно порожденных свободных групп C объединенной циклической подгруппой, была решена С. Липшуцем [1966]. в заключение заметим, что проблема сопряженности для групп с одним определяющим соотношением в общем виде все еще не решена и представляется очень трудной. j
6. Биполярные структуры Щ
В своей работе 1971 г., посвященной теории концов, СтоллинЩ (см. Масси и Столлингс [1977]) показывает, что если G — конечно порожденная группа с бесконечным числом концов, то G может быть представлена в виде нетривиального свободного произведения с объединенной подгруппой или HNN-расширения, в котором объединяемые (соответственно связанные) подгруппы конечны. В своем доказательстве Столлингс вводит понятие биполярной структуры. Биполярные структуры обеспечивают характеризацию группы или как нетривиального свободного произведения с объединенной подгруппой, или как HNN-расширения. Мы применим эту характеризацию для получения теоремы X. Нейман [1949] о конечно порожденных подгруппах свободных произведений с объединенной подгруппой и HNN-расширений.
Обратимся к определению биполярной структуры на группе,; (Читатель, знакомый с работой Столлингса, заметит два небольшйИ отличия в нашем определении. При работе с концами существенна] что упоминаемая ниже подгруппа F конечна. Здесь, разумеется мы должны допустить бесконечные подгруппы F. Не нужно нам и имеющееся у Столлингса множество S.) Щ
Определение. Биполярной структурой на группе G называется разбиение группы G на пять взаимно непересекающихся подмножеств F1 ЕЕ, ЕЕ*, Е*Е, Е*Е*, удовлетворяющее следующим аксиомам (буквы X, Y, Z употребляются вместо E и E*, причем' считается, что (X*)* = X и т. д):
1. F — подгруппа группы G.
2. Если f?F и gQXY, то gf?XY.
3. Если g?XY, то g-1(zYX (аксиома об обратном).
4. Если g Є XY и h ? Y*Z, то gh ? XZ (аксиома о произведет
5. Если g?G, то существует целое N(g), такое, что если
6. Биполярные структуры
283
яекоторых glt . . ., gn Z G и X0, . . ., Xn имеют место включения и S=Si ¦ ¦ ¦ gn, то n^N (g) (аксиома ограниченности). 6. ЕЕ*Ф0 (аксиома нетривиальности).
Покажем теперь, что каждое нетривиальное свободное произведение с объединенной подгруппой и каждое HNN-расширение обладают биполярной структурой. Пусть G={A»B; F=q>(F))— свободное произведение с объединенной подгруппой, где F и ф (F) — собственные подгруппы в А и В соответственно. (Может быть так, что F=(I}, т. е. G может оказаться обычным свободным произведением.) Биполярную структуру на G можно определить следующим образом. Подгруппа F группы G — это и есть подгруппа F из биполярной структуры. Каждый элемент g?G — F имеет представление вида
g = ct...cn,
где никакое Ci не лежит в F, каждое C1 лежит в одном из множителей Ли В и последовательные си C1+1 принадлежат разным множителям. Из теоремы о нормальной форме для свободных произведений с объединенной подгруппой следует, что число п и множители, из которых берутся с;, одни и те же для любого представления с упомянутыми ограничениями. Определим множества ЕЕ, ЕЕ*, Е*Е и Е*Е* следующим образом:
gZ.EE тогда и только тогда, когда C1ZA и CnZ А, gZEE* тогда и только тогда, когда с, Z А и CnZB, gZE*E тогда и только тогда, когда C1ZB и CnZA, gZE*E* тогда и только тогда, когда C1ZB и CnZB. Аксиомы проверяются непосредственно. Например, если gZXY и hZY*Z, то g и h обладают представлениями
g = c1...cn и h = d1...dm,
где сп и di лежат в различных множителях. В этом случае представление для gh имеет вид
C1...Cn(I1.. .dm,
так что аксиома 4 выполняется. Число N (g) в аксиоме 5 —это просто длина элемента g в смысле свободных произведений с объединенной подгруппой. Поскольку F и ф (F) — собственные подгруппы в А и В соответственно, существуют элементы с Z Л—F и dzВ—q>(F). В этом случае cdZЕЕ*, что доказывает аксиому нетривиальности.
Рассмотрим теперь HNN-случай. Пусть
G = <H, t; tFt-x = ((>(F)y
— некоторое HNN-расширение. Определим биполярную структуру на G следующим образом. Подгруппа F группы G — это подгруппа F биполярной структуры. Каждый элементу Z G—F имеет представле-
Предыдущая << 1 .. 120 121 122 123 124 125 < 126 > 127 128 129 130 131 132 .. 202 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed