Комбинаторная теория групп - Линдон Р.
Скачать (прямая ссылка):
(ё) и гомоморфизмы а[5я, tyL различные. Поскольку G конечно порождена, существует лишь конечное число гомоморфизмов из G в Sn, откуда и следует конечность числа подгрупп индекса п. Пусть теперь H — подгруппа индекса п в G, и пусть Hx, . . .
т
...Нт—все различные подгруппы индекса п. Положим K=п#г-
1=1
Тогда К имеет конечный индекс как пересечение конечного числа подгрупп конечного индекса. Пусть а —произвольный автоморфизм группы G. Поскольку образ а (Я,) каждой подгруппы Я; снова является подгруппой индекса п, а переставляет подгруппы H1. Значит,
т
*(К)= Г\а(НА = К, 1 = 1
и К характеристична в G. ?
Обозначим через Aut (G) группу автоморфизмов группы G. Следующая теорема принадлежит Г. Баумслагу [1963] (и Смирнову [1963*] — Ред.)
Теорема 4.8. Группа автоморфизмов Aut (G) конечно порожденной финитно аппроксимируемой группы G сама финитно аппроксимируема.
? Пусть Л= Aut (G), и предположим, что 1фаZ А. Тогда в G есть элемент с, такой, что а (с) с-1=с*^1. Поскольку G финитно аппрок-
4. Некоторые алгоритмические проблемы
269
симируема, в ней найдется подгруппа Я конечного индекса, такая, что с*(?Я. По предыдущей теореме Я содержит характеристическую подгруппу К, имеющую в G конечный индекс. В силу характеристичности подгруппы К можно определить гомоморфизм "ф: Л-э-Aut {GIK), полагая
ij» (?) IKg]=W (g).
В итоге Aut(GIK) конечна и г|з(а)^1. ?
Так как свободные группы финитно аппроксимируемы, из этой теоремы вытекает, что группа автоморфизмов свободной группы конечного ранга сама финитно аппроксимируема. Пусть
F01 = ^x1, х2, х3, .. . У
— свободная группа ранга Но от указанных порождающих. Убедиться в том, что Aut (F01) не является финитно аппроксимируемой, можно следующим способом. Поскольку Aut (F0,) содержит симметрическую группу на {X1, х2, • • •}, она содержит бесконечную простую группу А. Ясно, что А не является финитно аппроксимируемой, поэтому и Aut (F01) не является финитно аппроксимируемой.
Напомним, что группа G хопфова, если каждый сюръективный эндоморфизм 0: G-*-G является инъективным. Эквивалентным образом G является хопфовой, если она не изоморфна никакой своей собственной факторгруппе. Проблема существования конечно представленных нехопфовых групп возникла в топологическом контексте (Хопф [1931]). Примеры нехопфовых конечно порожденных групп были даны Б. Нейманом [1950] и Г. Хигманом [1951І. Простейшая нехопфова группа дается следующим примером Баумслага и Солитэра [1962].
Теорема 4.9. Группа G= (b, t; Z-1W=Z?3 > нехопфова.
? Определим 9: G-vG, полагая 0(Z)=Z и Q(b)=b2. Применение отображения 6 возводит в квадрат обе части определяющего соотношения, так что 9 определено корректно. Поскольку tub2 лежат в образе этого отображения и t~lb4=№, отображение 0 сюръективно. Применяя 0 к коммутатору [Z-1W1 Ь], получаем
9([Z-1W, b]) = [Z-W, b2] = [b\ Ь*]=\.
Однако
[Z-1W1 b] = t-1btbt~1b-Hb-1=^l в G
по лемме Бриттона, что обеспечивает нетривиальность ядра отображения 0. ?
Замечание. Пусть тип — пара ненулевых взаимно простых чисел, не равных по модулю 1. Тогда приведенное доказательство на самом деле показывает, что нехопфовой является каждая группа (Ь, Z; Z-1W=^").
270
Гл. IV. Свободные произведения и НЫЫ-расширения
Теорема Мальцева [1940] показывает, что все конечно порожденные финитно аппроксимируемые группы хопфовы.
Теорема 4.10. Конечно порожденная финитно аппроксимируемая группа G хопфова.
? Пусть 6: G->G — гомоморфизм на с ядром К. Предположим, что п — произвольное натуральное число. Поскольку G конечно порождена, по теореме Холла существует лишь конечное число подгрупп M1, . . ., Mk индекса п. Пусть Lj = B-1 (M1). Легко проверить, что [G : Li)=n. Так как прообразы подгрупп M1 различны, а число подгрупп M1 конечно, набор подгрупп L1 совпадает с набором подгрупп Mt. Таким образом, К содержится во всех M1. Однако из-за произвольности числа п тогда К содержится в пересечении всех подгрупп конечного индекса. Поскольку G финитно аппроксимируема, это пересечение равно {1}. Таким образом, K= {1} и 9 — автоморфизм. ?
Миллер III и Шупп [1971] показали, что каждая конечно представленная группа может быть вложена в конечно представленную хопфову группу. (См. V. 10). Отсюда следует существование конечно представленных хопфовых групп с неразрешимой проблемой равенства слов. Конструкция Миллера III [1971] дает конечно представленные финитно аппроксимируемые группы с неразрешимой проблемой сопряженности. Используя эту конструкцию, Миллер III может доказать, что если Fr— свободная группа ранга г^З, то существует конечно порожденная подгруппа А в Aut (Fг), такая, что проблема вхождения элементов из Aut (F1) в А неразрешима.
5. Группы с одним определяющим соотношением
Основные теоремы о группах с одним определяющим соотношением, теорема о свободе и теорема о разрешимости проблемы равенства слов, были доказаны Магнусом в начале 30-х годов. В настоящее время существует хорошо развитая теория групп с одним определяющим соотношением. (См. разд. П. 5, где рассмотрены некоторые аспекты этой теории.) В настоящей главе некоторые из основных теорем о группах с одним определяющим соотношением будут доказаны с использованием HNN-расширений. Д. И. Молдаванский [1967] в своей работе о подгруппах групп с одним определяющим соотношением заметил, что если G — группа с одним определяющим соотношением г, причем это определяющее соотношение циклически приведено и содержит некоторый порождающий в суммарной степени 0, то G является HNN-расширением некоторой другой группы И с одним определяющим соотношением. Приводимые здесь доказательства следуют работе Маккула и Шуппа [1973]. Основная стра-
