Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Линдон Р. -> "Комбинаторная теория групп" -> 119

Комбинаторная теория групп - Линдон Р.

Линдон Р., Шупп П. Комбинаторная теория групп. Под редакцией Ремесленникова В.Н. — М.: Мир, 1980. — 447 c.
Скачать (прямая ссылка): kombinatornteor1980.djvu
Предыдущая << 1 .. 113 114 115 116 117 118 < 119 > 120 121 122 123 124 125 .. 202 >> Следующая

Теорема 4.4. Пусть п^б. Тогда проблема порождения для FnXFn неразрешима. ?
Поэтому в Fn X Fn
FnXFn.
266
Гл. IV. Свободные произведения и HNN-расширения
Проблемы, относящиеся к группам FnXFn, представляют значительный интерес из-за их тесной связи с задачами о 3-многообра-зиях. Фундаментальная группа связной компактной ориентируемо' поверхности рода g имеет вид
Sg = [U1, Ьг,
ag> bg; П [а{, Ь,]=1),
і = 1
где [а,-, Ь,] — коммутатор cfxftf 1O1-O1-. Вопрос об односвязности даг ного 3-многообразия эквивалентен такому, является ли гомомо-физм из Sg в Fgx Fg сюръективным. Это в свою очередь экв валентно проблеме порождения для FgX Fg, ограниченной подмножества \yt, Z1, yg, zg\ из 2g элементов, удовлетворя" щих соотношению
Пк-, Z1]= і
і = 1
в группе FnXFn.
Пусть ср: Sg—уFgxFg—эпиморфизм. Говорят, что ср суи ственно пропускается через свободное произведение, если существуе нетривиальное свободное произведение А* В, Аф{\), ВФ{\\, гомоморфизмы тр и а, такие, что гр: Sg—>-А*В—эпиморфизм диаграмма
A^B —
а
FgXFg
коммутативна.
Содержанием гипотезы Пуанкаре является догадка о том, ч-всякое компактное связное и односвязное 3-многообразие гоме морфно 3-сфере. Сформулируем замечательную теорему Столлйнг' са [1962] и Джако [1969].
Теорема 4.5. Гипотеза Пуанкаре верна в том и только том случае, когда для каждого g>l каждый гомоморфизм ср : Sg-
~FgXFgu3
SgHa FgXFgсущественно пропускается через свободное произведение. ?
Соберем теперь вместе несколько теорем, относящихся к свойству групп быть финитно аппроксимируемыми или быть хопфовыми. Напомним, что группа G финитно аппроксимируема, если для каждого нетривиального элемента g=?l из G существует гомоморфизм ф из G в конечную группу К, такой, что ц>{ц)ф\. Выбор группы К и гомоморфизма ф зависит, конечно, от элемента g. Из определения ясно, что если H — прямое произведение некоторого семейства финитно аппроксимируемых групп, то H сама финитно аппроксимируе-
4. Некоторые алгоритмические проблемы
267
ма. Равным образом подгруппы финитно аппроксимируемых групп финитно аппроксимируемы.
Финитная аппроксимируемость свободных групп следует из существования точного представления свободной группы ранга 2 целочисленными матрицами (Санов [1947]). Например, матрицы
—свободные порождающие некоторой свободной подгруппы группы
Связь между конечно представленными финитно аппроксимируемыми группами и алгоритмическими проблемами дается следующей теоремой. Доказательство опирается на идею «конечной сводимости», высказанную Маккинси в 1943 г. и впервые примененную в случае групп Дайсоном [1964]х).
Теорема 4.6. Проблема равенства слов в конечно представленной финитно аппроксимируемой группе G разрешима.
? Пусть G=(xu . . ., хп; гь . . ., гт). Поскольку G конечно представлена, множество слов, равных единице в G, эффективно перечислимо. Покажем, что и множество слов, не равных в G единице, может быть перечислено эффективным образом. Фиксируем алфавит у и у 2, . . . .В этом алфавите мы можем эффективно перечислить все представления, получающиеся из таблиц умножения конечных групп. Произвольный гомоморфизм из G в некоторую конечную группу К вполне определен своим действием на порождающих X1, . . ., хп. Таким образом, «кандидат» на роль гомоморфизма из G в К — это tt-ка (kx, . . ., kn) элементов группы /С. Отображение xt і—> kt является гомоморфизмом тогда и только тогда, когда каждое rt переходит в 1. Поскольку проблема равенства слов в К разрешима, выполнение данного условия можно проверить. Таким образом, мы можем эффективно перечислить множество ері, ф2, фз, . . . всех гомоморфизмов из G в конечные группы. Значит, можно эффективно перечислить и множество всех образов ф, (w), где w — слово от порождающих группы G. Если некоторое ф;(&У) отлично ОТ 1, ДО Шф\, и мы помещаем w в список слов, отличных от 1. Поскольку G финитно аппроксимируема, для любого слова w Q G, отличного от единицы, существует некоторое ф,, такое, что ф;(оу)=т==1. Таким образом, мы действительно выписываем все слова, отличные от 1 в G. Этим доказательство теоремы завершается. ?
х) На самом деле связь между алгоритмическими проблемами и финитной аппроксимируемостью алгебр относительно соответствующего предиката установил А. И. Мальцев [1958].— Прим. ред.
GL (2, Z).
268
Гл. IV. Свободные произведения и HNN-расширения
Дайсон [19741 и Мескин [1974] продемонстрировали примеры конечно порожденных рекурсивно представленных финитно аппроксимируемых групп с неразрешимой проблемой равенства слов.
Нам понадобится одна теорема М. Холла [1949].
Теорема 4.7. Пусть G—конечно порожденная группа. Тогда число подгрупп данного конечного индекса п в G конечно. Если H — подгруппа конечного индекса в G, то в H содержится подгруппа К, являющаяся характеристической в G и имеющая в G конечный индекс.
? Пусть п — натуральное число. Для каждой подгруппы H индекса п выберем полное множество Ci, . . ., Cn представителей правых смежных классов группы G по подгруппе Н, причем C1=I. Правым умножением группа G переставляет смежные классы Hc1. Это индуцирует гомоморфизм tyH из G в симметрическую группу Sn перестановок множества {1, . . ., п) следующим образом. Для любого g Z G символ і переводится перестановкой г|зя (g) в символ /, если Hcig=Hcj. Поскольку Hcx=H, перестановка tyH(g) оставляет символ 1 на месте тогда и только тогда, когда gZH. Если H и L — две различные подгруппы индекса п, то существует элемент g, лежащий лишь в одной из этих подгрупп. Таким образом, "$>н(?)ф
Предыдущая << 1 .. 113 114 115 116 117 118 < 119 > 120 121 122 123 124 125 .. 202 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed