Комбинаторная теория групп - Линдон Р.
Скачать (прямая ссылка):
5. Группы с одним определяющим соотношением
271
тегия — использование индукции по длине определяющего соотношения и метод работы в случае, когда сумма показателей не равна нулю,— без изменений взята из работ Магнуса [1930, 1932].
Теорема 5.1. (Теорема о свободе.) Пусть G= (t, Ь, с, . . .; г),
причем г циклически приведено. Если L — подмножество из {t, Ь, с,. ¦ ¦,}, не содержащее некоторого порождающего, встречающегося в записи г, то подгруппа М, порожденная множеством L, порождена им свободно.
? Достаточно рассмотреть множества L, содержащие все порождающие группы G, за исключением одного. Доказательство будем вести индукцией по длине слова г. Если г содержит лишь один порождающий, то теорема верна. Таким образом, можно предполагать что G содержит не менее двух порождающих, скажем / и Ь, встречающихся в г. Возникает два случая.
Случай 1. Предположим, что сумма показателей ot(r) при некотором порождающем t, встречающемся в г, равна нулю. Представим G как HNN-расширение некоторой группы H с одним определяющим соотношением, причем это соотношение s будет иметь длину, меньшую длины слова г. Заменяя г, если нужно, на его подходящую циклическую перестановку, можно предполагать, что г начинается с Ь±х. Для любого целого / положим bi = t'bt~', C1 = =t'ct-' и так далее. Как элемент свободной группы F= (t, Ь, с, . . .) элемент г принадлежит нормальной подгруппе группы F, порожденной элементами Ь, с, .... Это позволяет переписать г как циклически приведенное слово s от порождающих bi, Ci, . . ., причем длина слова s строго меньше длины слова г. При переписывании слова г нужно просто заменить каждое вхождение порождающего, отличного от t, этим же порождающим с индексом і, где і — сумма показателей при вхождениях буквы предшествующих данному вхождению порождающего. (Например, если г равно ЬЧ~1с2ЬЧс2, то s равно ЬІс2_іЬг_іС„.)
Пусть ант — соответственно минимальный и максимальный индексы при Ъ, действительно встречающиеся в s. (Заметим, что Ьа непременно встречается, поскольку мы предположили, что г начинается с Ь±х.) Утверждается, что G обладает представлением
<t, V .... bm, с,-, d;, ... (і QZ); s= 1, tbjt-1 = bj+1 (J = p., m-1), к^ = С; + 1, ... (iQZ)>.
Для проверки этого утверждения обозначим через G* группу, определенную этим новым представлением. Отображение ц>: G —*¦ -* G*, определенное посредством
t*-^> t, b*—>ba, ci—>c0, и т. д.,
272
Гл. IV. Свободные произведения и HNN-расширения
является гомоморфизмом, поскольку (p(r) = s. С другой стороны, отображение т|: G* —>¦ G, определенное посредством
t<—>t, b1*—»-tibt-', ciy->t'ct~i и т.д.,
является гомоморфизмом, поскольку все определяющие соотношения группы G* при этом переходят в 1. Из того, что фГ| и г|ф —тождественные отображения групп GhG* соответственно, следует, что, Ф — изоморфизм. Ш
(Продолжая наш пример, видим, что если щ
G = <t, b, с; Pt-1CWtC2}, Щ
то новое представление для G имеет вид v
<г, b.lt b0, C1 (t?Z); bY-ФІА, tb^t-l = b0, tcit-l = ct+i:(t'€Z)>.)
Положим теперь H = KJj11, bm, C1, di, ... (i'€Z); S = 1>. Из предположения индукции следует, что подгруппы X и Y-группы Н, порожденные соответственно множествами {Ь^, ... .. . , bm-vCi,di,.. - (і €Z)} и {оц+1, . ..,bm,C;,d{, ... (і 6Z)}, свободно порождены выписанными элементами. В частности, отображения bjt—>bj+1, C1Y-Z-C1+1, ... (p.^/<m, /GZ) продолжаются до изоморфизма 0: X—+Y. Таким образом, G представлена как HNN-группа с базой Н.
Предположим вначале, что данное нам подмножество первоначального порождающего множества группы G есть L={Ь, с, . . .}. Заметим, что по меньшей мере один из порождающих группы H с ненулевым индексом встречается в s (иначе / не могло бы входить в г с суммой показателей, равной нулю). По предположению индукции L свободно порождает свободную подгруппу группы Н, а значит, и группы G.
Предположим теперь, что L= [t, с, . . .}. (Опущенный порождающий — это Ь.) Пусть w — нетривиальное свободно приведенное слово от {г, с, . . .}. Если а,(ш)=т=0, то тф\ в G, поскольку каждое слово, равное 1 в G, должно свободно равняться произведению сопряженных слова г±х.
Если at (w)=0, то перепишем w как слово в алфавите J={ct, . . .} в соответствии с той же процедурой, которая применялась для г. Тогда получим свободно приведенное нетривиальное слово w*. По предположению индукции J свободно порождает свободную подгруппу группы Н. Таким образом, по*ф\. Поскольку w*=w в G, получаем, что хюф\ в G.
Случай 2. С точностью до переобозначения порождающих в случае 1 рассмотрены все ситуации, за исключением той, в которой каждый порождающий встречается в г в суммарной степени, не равной нулю. Предположим, что L= [Ь, с, . . .}. Пусть ot(r)=a и о0(г)=*
5. Грцппы с одним определяющим соотношением 273
=?. Отображение W, при котором
t\—>г/х_р, Ь>—> ха, с>—>с.....
является гомоморфизмом группы G в группу
C = <у, х, с, ...; г(ух~&, Xа, с, ...)>.
Обозначим через гх результат циклического приведения слова г(ух-&, ха, с, . . .). Тогда ах(гх)=0 и у встречается в гх. Группу С можно переписать как HNN-группу с проходной буквой х. Если s — то, что получается из гх(ух~&, ха, с, . . .) после переписывания, то длина слова s меньше длины слова г, так как все х-символы устранены. Отсюда следует, что подгруппа группы С, порожденная множеством {х, с, . . .}, свободно порождена этим множеством, а отсюда вытекает, что и множество {ха, с, . . .} свободно порождает соответствующую подгруппу. Поскольку W переводит Ъ В Xа, свс,..., понятно, что L порождает свободную подгруппу группы G. Тем самым теорема доказана. ?
