Комбинаторная теория групп - Линдон Р.
Скачать (прямая ссылка):
Случай 1. Если в ЕЕ* нет неприводимых элементов, то G=(G1* *G2; F=F).
Поскольку элементы из Е*Е — это обратные к элементам из ЕЕ*, в Е*Е нет неприводимых элементов. Таким образом, в G1 U G2 содержатся все неприводимые элементы группы G. Поскольку группа G порождена неприводимыми элементами, множество GiUG2 порождает ее. _
Возьмем непересекающиеся экземпляры G1 и G2 групп G1 и G2. При любом элементе g,€G,-, i = \, 2, пусть gt обозначает соответствующий элемент из G/. Рассмотрим
G = <G1*G2; F = Ty.
Определим^: G—>G, полагая гр^) = , если ^1GG1 и tp(g2) = = g2, g2€G2. Утверждается, что гр —изоморфизм. Отображение гр —это отображение на G по замечанию из предыдущего абзаца. Далее, понятно, что гр является взаимно однозначным на G1 и G2. Если элемент g не лежит ни в каком множителе группы G, то запишем g = c1...cn, где каждое C1 лежит в некотором множителе, никакое с,- не лежит в F и последовательные с{, с!+1 лежат в разных множителях. Образы C1 = Ip(C1) идут, таким образом»
--вдаям-
б. Биполярные структуры 287
поочередно из ?? и ?*?¦*. Тогда по аксиоме о произведении
Ф (^) = C1. . .Cn
лежит в одном из множеств ХУ и не равен 1. Таким образом,
,Jj-—ИЗОМОрфИЗМ.
Если бы F не была собственной подгруппой хотя бы в одной из групп G1, G2, скажем F=G1, то G1L)G2=G2. Поскольку G2 тогда порождала бы G, у нас вышло бы G=G3SF и F?, что противоречит аксиоме нетривиальности ЕЕ*Ф0.
Случай 2. Если в ЕЕ* имеется нетривиальный элемент Z, то
G = <Glt Z; rFZ-1 = 9(F)>.
Покажем сначала, что G1(J(Z} порождает G. Если g— неприводимый элемент из Е*Е, то tg — неприводимый элемент из F\jEE по лемме 6.3 и g=t~1(tg). Неприводимые элементы из ЕЕ* суть обратные к неприводимым элементам из Е*Е. Если g — неприводимый элемент из ?*?*, то gZ_1 — неприводимый элемент из FuE*E по лемме 6.3.
Понятно, что сопряжение элементом Z индуцирует некоторый изоморфизм ф между F и некоторой подгруппой ф^) группы G. Проверим, что ZFZ-1SG1. Если /6F, то Z/— неприводимый элемент из ЕЕ* по лемме 6.4, откуда (Z/)/-1 по лемме 6.3 — неприводимый элемент из FuEE.
Напомним, что G1—подгруппа в G и что G1SF (J ЕЕ. Элемент Z лежит в множестве??*, непересекающемся с FuEE. Следовательно, при любом выборе элементов gx Hg2 из G1 и е=±1 имеем giZeg2^ (JIT7. Это наблюдение часто будет использоваться в неявной форме.
Пусть G1 — изоморфный экземпляр группы G1 и G = KG1, Т; TfF-1 = ^)).
Определим г|; : G-*-G, полагая ty(g1)=g1, если gj ?G1( и ^(Z)=Z. Мы знаем, что ij) — отображение на G1 ввиду того что G1 U (Z} порождает G. Если g?G—G1, то g может быть записан как произведение элементов некоторой приведенной последовательности, скажем
i = g0Fe....7«ng„, п>1,
где каждый g,- лежит в G1. Нам нужно показать, что
y(g) = g0tE>...tengn=?l.
При построении биполярной структуры для произвольных HNN-расширений мы дали схему размещения элементов по множествам XY. Утверждается, что i|)(g) лежит в некотором XY в соответствии с этой схемой. (В настоящем контексте G1 играет
288
Г л. IV. Свободные произведения и НЫЫ-расширения
роль группы H.) Доказательство проведем индукцией по п. Сначала проанализируем случай /г>1. Из тех же рассуждений очевидным образом будет следовать и случай п=\.
Рассмотрим знак числа bn-1. Предположим, что e„_j= 1. Тогда g = wSn-Je" Sn, гДе w~So-¦ -ёп-J- Элемент w лежит в XE* по предположению индукции. Не может быть одновременно g„_, Q F и En =—1, так как последовательность для g приведена. Предположим, что еп = — 1. Тогда g„_, QEE. Вне зависимости оттого, gnQEE или gnQF, по лемме 6.3 или аксиоме 2 получаем t~xgnQ QE*E. Таким образом, wgn_1(t~lgn)QXE по аксиоме о произведении. Предположим, что е„ = 1. Снова независимо от gn_x Q ЕЕ или gn_, Q F получаем gn.J Q ЕЕ*. Если gn Q ЕЕ, то w Cgn-^gn Q Q XE. Если gn-,QF, то w (qn^t) gnQ ХЕ*.
Предположим теперь, что en_t = —1. Запишем g = vt~1gn-1x xts"gu, где u = g„...gn_s. Допустим, ЧТО V не состоит из одного g„QF. Утверждается, что тогда vQXE, так как в противном случае V должно было бы оканчиваться на fg„_2, где gn-2QF. Это противоречит тому, что первоначальная последовательность для g является приведенной. Далее, t-1g„_, — неприводимый элемент из Е*Е независимо от того, gn^xQEE или gn-rQF. (Нужно применить одну из лемм 6.3 или 6.4). Предположим, что е„=1. Тогда f_1gn_,< Q F[J Е*Е* по лемме 6.3. Включение t~lgn~xt Q F невозможно, так как из него следовало бы g„_, Q ср (F), а это противоречит приведенности исходной последовательности для g. Таким образом, /-1gn_,/ Q Е*Е*. Если gnQEE, то v(t~xXa Xg»-iOgB€X?. а если gnQF, то v ('"'5„-,Og» € ХЕ*. Наконеві допустим, что е„ = —1. Тогда t~1gnQE*E и v(t-1gn_1)(t-lgn)m QXE. Для случая v QF результат легко вытекает из приведем ного рассуждения. I
Случай п=\ без труда получается при исследовании аналоги1™ ным образом произведения g0/Eigi. Итак, мы видим, что g=ty(M лежит в одном из множеств XY и не может равняться 1. Следов» тельно, гр взаимно однозначен и потому является изоморфизмом Это завершает доказательство теоремы. ? 1
Мы убедились, что группа G обладает биполярной структурой в том и только том случае, когда G — нетривиальное произведение с объединенной подгруппой или HNN-расширение. Используем теперь характеризацию в терминах биполярной структуры для доказательства одной теоремы X. Нейман [1948] о конечно порожденных подгруппах свободных произведений с объединенной подгруппой или HNN-расширений.
