Векторное исчисление и начала тензорного исчисления - Кочин Н.Е.
Скачать (прямая ссылка):
^pF-p-^-grad^dF=^
и так как это равенство справедливо для любого объема V, то необходимо должно быть
pF - р ? - grad р = О, или If = F - -i-grad р (50)
Это н есть основное уравнение гидродинамики идеальной жидкости. Часто его пишут еще в форме
g. + (v.V)v= F--Lgrad р (51)
используя известное нам соотношение между полной и частной производными вектора (§ 13, п. 2).
11 Н. Б. Кочвв 162
ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ
Гл. Il
В качестве последнего примера рассмотрим электростатическое поле. Мы уже знаем (§ 12, п. 6), что электрическое напряжение Е, т. е. сила, действующая на единичный заряд положительного электричества, помещенный в данной точке, имеет потенциал:
E = — grad ф (52)
Вычислим поток этого вектора через некоторую замкнутую поверхность S', по теореме Гаусса — Остроградского этот поток равен
§EndS = [ div E^ (53)
s v
Но мы видели ранее (§ 12, п. 6), что в случае электростатического поля, создаваемого п зарядами еи е2, ... , еп, находящимися в точках Al1, M1, ... і Mn, потенциал имеет выражение
+ (54)
где T1, га, . . . , гп — расстояния от точек M1, M2, . . . , Mn до переменной точки М, в которой вычисляется значение потенциала. Следовательно, в этом случае
В—g^dft + i+... + -?) (55)
Сравнивая это выражение с выражением (18) § 14 и принимая во внимание формулу (20) того же параграфа, мы легко увидим, что
§ EndS= 4«2'e, (56)
где сумма правой части распространена на те заряды, которые находятся внутри поверхности.
Представим себе теперь заряды, непрерывно распределенные в пространстве, и пусть р означает плотность этих зарядов, тогда в элементе dV будет находиться р dV зарядов, а внутри поверхности S будет иметься
v
зарядов. В этом случае формула (56) должна быть заменена следующей
§EndS = pdV (57)
Сравнивая ее с формулой (53), мы видим, что можно принять
div E = 4 яр (58) ОПЕРАТОР ГАМИЛЬТОНА
163
т. е. расхождение вектора электрической силы можно трактовать как умноженную на 4л плотность зарядов, непрерывно распределенных в пространстве. Так как
div E= — div grad <p = — Дф
то
Дф = — 4 яр (59)
Уравнение такого типа называется уравнением Пуассона. Там, где зарядов нет, т. е. где р = 0, оно превращается в уравнение Лапласа
Дф = 0 (60)
Все тела делятся на проводники и непроводники. Проводники обладают тем свойством, что внутри них электрическая сила обращается в нуль: Е=0; следовательно, внутри проводников
grad ф ~ 0
и, следовательно, потенциал ф есть постоянная величина
Ф = const (61)
кроме того, так как внутри проводника div Е = 0. то р = 0, и следовательно, внутри проводника не может быть электрических зарядов, последние должны сосредоточиваться на поверхности проводника.
Задача 116. Чему равняется интеграл по замкнутой поверхности S. ограничивающей объем F
ф г (a-n) dS
где г — радиус-вектор, а -— постоянный вектор, п — вектор внешнее нормали к S.
Решение. По формуле (13)
ф (a-n) re/5 = I (a-V) г dV
но по задаче 103 мы имеем (а • V)r = а, следовательно ф(а.а) г cto= ^ acrt7 = aV
S V
Задача 117. Найти значение интеграла
ф (г-a) a dS
S
Ответ. Fa, где F есть величина объема, ограниченного поверхностью S
11* 164
ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ
Гл. Il
§ 16. Циркуляция вектора вдоль контура. Вихрь вектора.
Его составляющие. Теорема Стокса
1. При изучении градиента (§ 12) мы ввели понятие линейного интеграла вектора а вдоль кривой L:
§а 'dt
L
и показали, что обращение в нуль этого интеграла, взятого по любому замкнутому контуру, есть необходимое н достаточное условие того, чтобы вектор а был градиентом некоторой однозначной функции
a = gradq>, = аг = g (1)
Рассмотрим теперь поле любого вектора а (г). Более подробное изучение линейного интеграла по замкнутому контуру приводит к понятию некоторой дифференциальной операции, которая, будучи применена к вектору а, дает новый вектор, называемый вихрем вектора а.
Итак, рассмотрим замкнутую кривую линию С и взятый по этой кривой криволинейный интеграл
a-dr = ф (a JLx + Oydy + a2dz) (2)
с с
Если кривая С плоская, то она ограничивает некоторую плоскую площадь S, которая, согласно сказанному в § 6, может быть представлена вектором, равным по величине S и имеющим направление положительной нормали к площадке S, т. е. нормали, направленной в ту сторону, откуда направление обхода контура С кажется совершающимся в ту же сторону, как направление поворота от оси х к оси у вокруг положительной оси Z (при. левой системе координат — по часовой стрелке). Если п есть единичный вектор положительной нормали, то мы имеем
S = Sn (3)
в проекциях же на оси координат мы будем иметь
S = Sxi + SJ + S2 к (4)
Если мы площадку S спроектируем на плоскость ху, то получим площадку, ограниченную контуром C1, являющимся проекцией контура С. Покажем, что эта площадка представляется как раз вектором S2k, направленным по оси Z в ту или другую сторону. В самом деле, в § б было доказано, что величина проекции площади равна проектируемой площади S, Умноженной на косинус угла между плоскостью S и плоскостью проекции, в настоящем случае | cos (n, z) | и следовательно величина проекции площади равна
