Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Кочин Н.Е. -> "Векторное исчисление и начала тензорного исчисления " -> 54

Векторное исчисление и начала тензорного исчисления - Кочин Н.Е.

Кочин Н.Е. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления — М.: Наука , 1965. — 427 c.
Скачать (прямая ссылка): vektornoeischeslenieinachalo1965.djvu
Предыдущая << 1 .. 48 49 50 51 52 53 < 54 > 55 56 57 58 59 60 .. 144 >> Следующая


ф р vn dS dt

a

и, следовательно,

dM = — ^ pvndSdt

S

Приравнивая два полученных выражения для dM, мы находим равенство

+ ^9VndS =0 (40)

По теореме Гаусса — Остроградского

pvn dS = ^ div {pv) dV

S V

Следовательно, предыдущее уравнение принимает вид

div (pv) ]dV = О

§15 оператор гамильтона

16S

Так как это уравнение имеет место для любого объема V, то должно быть тождественно

? + div (pv) = 0 (41)

Это и есть искомое уравнение неразрывности. Его можно написать еще в другой форме. В самом деле, мы имелв [формула (22)]

div (pv) = р div V H- у • grad р

Поэтому предыдущее уравнение примет вид

-^-H-V- grad р 4- р div V = 0 (42)

Но в § 13, п. 2 мы установили следующую связь между полной и част-'ной производной

dp да . .

1Г = W + v ' Srad P

Принимая это во внимание, мы можем переписать уравнение неразрывности в следующей, часто употребляемой форме

-?" + P div v = 0 (43)

Рассмотрим частный случай несжимаемой, но может быть неоднородной жидкости. В этом случае плотность каждой частицы жидкости остается неизменной и, следовательно, по самому определению индивидуальной производной

? = 0 (44)

поэтому уравнение неразрывности принимает вид

div V = 0 (45)

так что в случае несжимаемой жидкости вектор скорости- является пек-тором соленоидальным. Мы анаем, что для соленовдального вектора поток вектора через любое поперечвое сечение векторной трубкв является постоянным. Векторные линив вектора скорости v называются линиями тока, а соответствующие трубкв — трубками тока. Еслв взять трубку тока с бесконечно малым поперечным сечением, то произведение из величины скорости на площадь поперечного сечения, нормального к оси трубки, будет вдоль трубки одинаково и, следовательно, скорость увеличивается там, где трубка тока сжимается, в уменьшается, где трубка тока расширяется.

Если движение несжимаемой жидкости обладает потенциалом скорости <р, т. е. если

V = grad ф (46) 160

ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ

Гл. Il

то уравнение неразрывности дает нам в силу div V = div grad q> = Дф

уравнение Лапласа

дф = 0 (47)

Итак, потенциал скорости в движении несжимаемой жидкости удовлетворяет уравнению Лапласа.

Выведем теперь основное уравнение гидродинамики идеальной жидкости. В гидромеханике рааличают жидкости идеальные а вязкие; в основе этого различия лежит характер внутренних сил. Если мы внутри жидкости вырежем объем V, ограниченный поверхностью S, то со стороны находящихся зне объема частиц жидкости будут оказываться воздействия на частицы, лежащие внутри объема V (фиг. 56). Эти силы называются внутренними, так как они происходят от взаимодействия частиц жидкости. Когда же мы рассматриваем объем V, то по отношению к нему упомянутые только что силы становятся внешними. Их действие учитывают, принимая, что на каждый элемент dS поверхности S действует поверхностная сила q dS, пропорциональная площади элемента поверхности. Если эта сила действует всегда нормально к элементу Фиг. 56 поверхности, то жидкость называется идеальной.

В этом случае вектор q имеет направление, прямо противоположное направлению единичного вектора внешней нормали п, и мы имеем

q = _ pa (48)

где р — называется давлением жидкости.

Ёсли вектор q может иметь не только нормальную, но и касательную составляющую к элементу поверхности dS, то жидкость называется вязкой.

В идеальной жидкости величина давления, как можно показать, не зависят от направления элемента. Таким образом гидродинамическое давление есть функция от точки и времени:

P (Г, о = P (X, у, 2, I)

Для вывода основного уравнения гидродинамики мы примем начало Даламбера, по которому, если ко всем внешним силам, действующим на точки системы, присоединить еще силы инерции, то полученная система сил будет находиться в равновесии и, следовательно, ее главный вектор, т. е. геометрическая сумма сил системы, будет равняться нулю.

Обозначим через F внешнюю силу (как например силу тяжести), отнесенную к единице массы, и применим начало Даламбера к системе § 15 ОПЕРАТОР ГАМИЛЬТОНА Ifil

жидких частиц, заполняющих объем F; рассмотрим элемент dV этого объема; масса этого элемента объема равна рdV; внешняя сила, действующая на этот элемент объема, будет равна рFcfF1 а сила инерции будет равна

(ибо сила инерции равна взятому со знаком минус произведению иэ массы частицы pdV на ее ускорение dv/dt). Поэтому главный вектор массовых сил н сил инерции будет равен



Но на частицы объема F действуют, как было выяснено выше, еще поверхностные силы, которые по отношению к частицам объема V должны тоже рассматриваться, как внешние силы. Так как на элемент поверхности dS действует по вышесказанному сила давления — р a dS, то главный вектор поверхностных сил будет равен

— ф р a dS

S

Согласно началу Даламбера, получаем равенство

^ (pF - р ^dV pndS = 0 (49)

V S

Применяем теперь формулу (6) п. 1 § 15, аналогичную формуле Гаусса — Остроградского

ф pa dS = ^ grad р dV

S V

в результате получаем
Предыдущая << 1 .. 48 49 50 51 52 53 < 54 > 55 56 57 58 59 60 .. 144 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed