Векторное исчисление и начала тензорного исчисления - Кочин Н.Е.
Скачать (прямая ссылка):
Поэтому
PX еу _ ez
а* = 4лГ» • aV — 4л?» ' а* ~~ 4ЇЙ3
дат _ _е__Ъех дг__«_ _ Зет^ х^ _ е (га — За?)
дх ~~ Anr3 4кг*дх~~ 4яг* 4ЯГ4 г ~~ 4лг5 day = е (г' - Зу») ду 4яг®
да, _ е (r" — :jzz) dz 4я г* поток вектора через поверхность
145
Отсюда
diva= 'СЗг'-З*' -У-Зг») 4яг5
Полученный вектор имеет особенность в начале координат, поэтому областью его задания мы должны считать все пространство с выключенным началом координат. Но такое пространство не принадлежит к указанному в конце предыдущего пункта классу областей- Этим объясняется, что в то время как поток вектора а через замкнутую поверхность, не заключающую внутри себя начала координат, будет по теореме Гаусса обращаться в нуль:
^ ап ой = ^ div a a!V = О
ч , S f
поток через поверхность, содержащую внутри себя начало координат, будет отличен от
нуля и будет рa- I f
вен е- ч ./ Ч і У
Общий характер поля, доставляемого источни- - _ ком а стоком, ясен ^ 1 X4^
нз фиг. 54. [ f j N^
Векторными ли- * Ч У J ' \
ни ями служат пря- t ,
нив, проходящие *
Стек Источник
через источник
или сток, причем Фиг 54
величина вектора
изменяется обратно пропорционально киадрату расстояния точки до источника или стока. Значение потока вектора через бесконечно малую поверхность, охватывающую источник или сток, будем называть обильностью, мощностью или интенсивностью источника.
Если мы имеем систему га точек M1, Л/«, . . . , Mn с обильностями е,. е», . . . , еп и если расстояния точки M (г) от этих точек обозначить через г1( г2, ... , г„, то потенциальное поле
а (г) = grad (-^7-^7- • - (18)
имеет расхождение, всюду равное нулю, за исключением указанных п источников.
Рассмотрим замкнутую поверхность S и пусть часть точек Af11 А/3, і . . , Л/п лежит внутри ее; тогда поток вектора а через S равен сумме обнльностей тех источников, которые лежат внутри S:
QanCtS=Zjei (19)
а .
10 н. Е. Кочин 146
векторныЙ анализ
Гл. Il
где сумма распространяется по тем источникам, которые лежат внутри S. В самом деле, окружим эти источники малыми сферами Si и применим теорему Гаусса (12) к объему, получающемуся выделением ив пространства внутри 5 малых шариков, ограниченных сферами Si.
Так как внутри этого объема div а = 0, то полный поток черев S и через все поверхности Si равен нулю, но, как было выяснено выше, поток вектора а через Si равен — е{; поэтому
\andS-$ei=0 (20)
S
а это и есть формула (19).
Сравнивая эту формулу с формулой Гаусса
ф/Z71^ = ^divarfF
мы можем скавать, что в элементе объема dV находится источник интенсивности diva dV. Таким образом, мы приходим к выводу, что diva дает меру интенсивности источников, непрерывно распределенных по пространству и отнесенных к единице объема.
Задача 104. Доказать, что
div (а, + aj) = div at + div Ba
Задача 105. Вычислить div г.
J- dz , ду , dz 0
dlvr =аГ+7^ + -ЗГ= 3
Задача 106. Вычислить div (фа), где ф — скалярная, а — векторная функция поля.
д<ра Эфя„ Эфа,
div (фа) = ^ + -?*- +-f^ = -*?+?". + *?+-**+*? + -?".-
Задача 107. Вычислить div (re) и div (г*с), где с постоянный вектор.
Ответ, div (гс) = , div (Il2C) = 2с • г.
Задача 108. Вычислить div (аг), где а — постоянный скаляр.
Ответ, div (от) = За.
Задача 109. Вычислить div .
Ответ.
г 1 ,13 г 3 1 2
div — = — div г -f- г • grad — = — г • = — — — у поток вектора через поверхность
147
Задача 110. Вычислить div b (г - a), div г (г . а), где а и b — поетояв-вые векторы.
Ответ, div b (г . а) = а ¦ Ь, div г (г • а) = 4г«а.
Задача 111. Вычислить расхождение в поле скоростей и ускорении в движении твердого тела.
Ответ. По формулам (53) и (55) § 9:
v = v0 + w x г
W = wo + ю X г + ю X (о> X г) = W0 + ю X г Ц- ю (ю • г) — г (ю • ») Вычислим div (а х г), где а — постоянный вектор, (a X-= OvZ — (а х г)„ = агх — axz, (а х r}7 = аху — avx
div (а X г) = (avz — агу) + {агх - axz) + ~ (а^ — аух) = О Поэтому
div V = div v0 + div (m х г) = 0 div w — div w0 + div («і»Xг) 4- div w(w-r) — div r (м-ш) Ho по задачам 110 и 108
div ю (ю * r) = ю.ю = ша, div г («о • ю) = 3m • в> = 3<os Поэтому
div w = to2 — 3(o2 = — 2to2
Задача 112. При какой функции ф (г) будет div i|) (г) г = О? Ответ. По задаче 106
div ф (г) г = -ф (г) div г + grad ф (г) . г = Зф (г) + ф' (г) . г = Зф-f- лр'
Поэтому надо решить уравнение
Зф + гф' = О
или
-2-+^-=0, 3 log г + log ф = log С, фг" = С и окончательно
где С — произвольная постоянная. Задача 113. Найти div (r*r). Ответ. 7 г4.
Задача 114. Найти div [г (w х г)], где w — постоянный вектор. Ответ. 0.
Задача 115. Найти div [ax(r X Ь)],где а и Ь — постоянные векторы. Ответ. 2а - Ь.
10* 148
вЕкторный анализ
Гл. Il
§ 15. Оператор Гамильтона. Некоторые применения
1. Рассматривая вектор grad <р
grad<p = V<P=i-^-H-^+k (!)
мы указали, что этот вектор можно получить формальным применением оператора Гамильтона «иабла»
+ + (2)
к скалярной функции q>. Мы видели далее, что при помощи этого оператора выражается также и градиент одного вектора по другому
