Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Кочин Н.Е. -> "Векторное исчисление и начала тензорного исчисления " -> 52

Векторное исчисление и начала тензорного исчисления - Кочин Н.Е.

Кочин Н.Е. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления — М.: Наука , 1965. — 427 c.
Скачать (прямая ссылка): vektornoeischeslenieinachalo1965.djvu
Предыдущая << 1 .. 46 47 48 49 50 51 < 52 > 53 54 55 56 57 58 .. 144 >> Следующая


V S

В обоих случаях мы будем иметь

^ ^1L (k) dV = <? cos {в, z) L (к) dS

v s

и, следовательно, еще раз, пользуясь свойством линейности,

^ L (к = |.L (cos (в, г) к) dS

Точно так же получим

^ L{\ = (cos (в, x) і) dS

V S

\l(j JL)dV = §L (cos (Bl2Z)J-) dS

V s

В результате сложения этих трех формул, найдем требуемое равен-етво

^ L (V) dV = ^L (в) dS

v s

Допустим теперь, что V есть бесконечно малый объем, стягивающийся к точке М, и что L (V) есть непрерывная функция точки М.

Тогда в точках объема V значения L (V) мало отличаются от значения этой величины в точке М:

L (V) = (L (V)}« + є

где є — бесконечно малая величина. Повтому

\ L (V) dV = J {{L (V)}« + е> dV = {L (V))m V + r\V

V V

где і) тоже бесконечно малая величина. Итак, мы получаем, что

L (її)dS \ L{V)dV --у-= --V-= (MV)bf +П §15 оператор гамильтона

16S

Переходя к пределу, когда объем V стягивается в точку М, получим

Ф L (п) dS

L(V)Hm --(20)

V-.0

Это второе определение L (V) совершенно эквивалентно с первоначальным onpeAeneHHeML (V), однако оно гораздо удобнее первоначального определения, так как не содержит ни малейшего намека на Прямоугольную систему координат; в частности, только что полученное нами равенство с удобством может быть применено для вычисления L (V) В любой системе криволинейных координат.

3. В Дальнейшем мы будем весьма широко пользоваться символическим методом вычислений, связанным с применением оператора Гамильтона V. сейчас же на двух простых примерах покажем сущность этого символического метода.

Пусть мы имеем скалярную функцию точки ф (г) — ф (а, у, z) и векторную функцию точки а (г) =а (а, у, z), и требуется вычислить div (фа). В задаче 106 уже было проделано это вычисление обычным способом. Покажем теперь применение символического метода. Мы имеем

div (фа) = V • (фа)

Мы видим, что дифференциальный оператор

Г-7 і d д ,, д

V = Iw+j-^ + k

состоящий н существенном из трех производных по координатам, применяется к произведению двух функций ф и а. Но по правилу дифференцирования произведения проиаводная от произведения нескольких функций составляется следующим образом: дифференцируем первый множитель, считая все остальные постоянными, затем дифференцируем только второй множитель, считая все остальные постоянными и т. д., все полученные выражения складываем.

В дальнейшем мы будем в тех случаях, когда это может вызнать сомнение, отмечать все векторы, которые мы на время считаем постоянными, индексом с (const). Поэтому, согласно только что высказанному правилу, мы должны написать

V • (фа) = V • Ф^а + V • фаг

Рассматривая выражение і™ можем постоянный множитель

фс вынести 8а знак V< в результате получим

V • Фса = ф^ • а = Ф V • а

где мы уже можем заменить фс на ф, так как ф стоит перед V и> следовательно, не подвергается действию V- 154

ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ

Гл. Il

В выражении V ¦ <рас оператор V действует только на скаляр ф, поэтому мы можем написать, что

V • ф®с — Уф • а« = а« • V? = а • V<P В результате получаем формулу

V • (фа) = ФУ ¦ а + а • уф (21)

или при обычных обозначениях

div • (фа) = ф div a -f- a-grad ф (22)

В качестве второго примера возьмем операцию (V *v) а. Так как здесь V и а стоят после у, то действие дифференциального оператора V мы должны считать распространяющимся и на v и на а. Согласно вышеприведенному правилу дифференцирования мы должны написать

(V-V) a = (V-Vc) a -f- (V-v) а,

В выражении (V ¦ vc) мы должны, имея в виду постоянство вектора V0, переставить V с vc; итак

(V • vc) a = (vc • V) a + (v • V) а

(раз V стоит перед V- оператор V v не действует, и незачем писать значок с). Далее

(V • V) ас = а,. (V • V) = а (V • Ў)

и эначит

{V • V) а - (v . V) a + a (V • V) = (v • V) a + a div V (23)

Если мы применим обобщенную формулу Гаусса — Остроградского (19) к (V * v) а, мы получим

^ (v . v) a dV = ф (п • v) a dS - ф a v„dS

VSS В силу предыдущей формулы, получаем важное соотношение

^([v- V) a + a div v] dV = фа vndS (24)

В частности при a = v, получаем формулу

^ l(v»V) V +vdiwjrfF = ф »nvd5 (25)

v s

4. Остановимся еще на одной дифференциальной операции второго порядка, а именно, составим расхождение потенциального вектора div grad ф. Так как §15

ОПЕРАТОР ГАМИЛЬТОНА

16S



или

div grad, =^- + ^ + 5 (26)

Выражение

=A (27)

называют оператором Лапласа, а уравнение

Д Ф = 0 (28)

уравнением Лапласа.

В символической форме мы имеем

div grad ф — У'Уф=5 (V-V) ф (29)

Но скалярное произведение V ' V> которое чаще обозначают через V2» очевидно, равно как раз Д:

гт'^ а а , а а , a a . ^a , э» л .„„.

v* V = + + (3°)

Заметим еще, что так как

div а = Iim —

v-h)

то, полагая а = grad ф, On = , получим



HS

Д«р = KJty = Iim --(31)

v-Hl у

и в соответствии с этим

\A(fdV (32)

v s

5. Откладывая пока дальнейшее изучение символического способа, обратимся к некоторым физическим применениям понятия расхождения-
Предыдущая << 1 .. 46 47 48 49 50 51 < 52 > 53 54 55 56 57 58 .. 144 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed