Векторное исчисление и начала тензорного исчисления - Кочин Н.Е.
Скачать (прямая ссылка):
V S
В обоих случаях мы будем иметь
^ ^1L (k) dV = <? cos {в, z) L (к) dS
v s
и, следовательно, еще раз, пользуясь свойством линейности,
^ L (к = |.L (cos (в, г) к) dS
Точно так же получим
^ L{\ = (cos (в, x) і) dS
V S
\l(j JL)dV = §L (cos (Bl2Z)J-) dS
V s
В результате сложения этих трех формул, найдем требуемое равен-етво
^ L (V) dV = ^L (в) dS
v s
Допустим теперь, что V есть бесконечно малый объем, стягивающийся к точке М, и что L (V) есть непрерывная функция точки М.
Тогда в точках объема V значения L (V) мало отличаются от значения этой величины в точке М:
L (V) = (L (V)}« + є
где є — бесконечно малая величина. Повтому
\ L (V) dV = J {{L (V)}« + е> dV = {L (V))m V + r\V
V V
где і) тоже бесконечно малая величина. Итак, мы получаем, что
L (її)dS \ L{V)dV --у-= --V-= (MV)bf +П§15 оператор гамильтона
16S
Переходя к пределу, когда объем V стягивается в точку М, получим
Ф L (п) dS
L(V)Hm --(20)
V-.0
Это второе определение L (V) совершенно эквивалентно с первоначальным onpeAeneHHeML (V), однако оно гораздо удобнее первоначального определения, так как не содержит ни малейшего намека на Прямоугольную систему координат; в частности, только что полученное нами равенство с удобством может быть применено для вычисления L (V) В любой системе криволинейных координат.
3. В Дальнейшем мы будем весьма широко пользоваться символическим методом вычислений, связанным с применением оператора Гамильтона V. сейчас же на двух простых примерах покажем сущность этого символического метода.
Пусть мы имеем скалярную функцию точки ф (г) — ф (а, у, z) и векторную функцию точки а (г) =а (а, у, z), и требуется вычислить div (фа). В задаче 106 уже было проделано это вычисление обычным способом. Покажем теперь применение символического метода. Мы имеем
div (фа) = V • (фа)
Мы видим, что дифференциальный оператор
Г-7 і d д ,, д
V = Iw+j-^ + k
состоящий н существенном из трех производных по координатам, применяется к произведению двух функций ф и а. Но по правилу дифференцирования произведения проиаводная от произведения нескольких функций составляется следующим образом: дифференцируем первый множитель, считая все остальные постоянными, затем дифференцируем только второй множитель, считая все остальные постоянными и т. д., все полученные выражения складываем.
В дальнейшем мы будем в тех случаях, когда это может вызнать сомнение, отмечать все векторы, которые мы на время считаем постоянными, индексом с (const). Поэтому, согласно только что высказанному правилу, мы должны написать
V • (фа) = V • Ф^а + V • фаг
Рассматривая выражение і™ можем постоянный множитель
фс вынести 8а знак V< в результате получим
V • Фса = ф^ • а = Ф V • а
где мы уже можем заменить фс на ф, так как ф стоит перед V и> следовательно, не подвергается действию V-154
ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ
Гл. Il
В выражении V ¦ <рас оператор V действует только на скаляр ф, поэтому мы можем написать, что
V • ф®с — Уф • а« = а« • V? = а • V<P В результате получаем формулу
V • (фа) = ФУ ¦ а + а • уф (21)
или при обычных обозначениях
div • (фа) = ф div a -f- a-grad ф (22)
В качестве второго примера возьмем операцию (V *v) а. Так как здесь V и а стоят после у, то действие дифференциального оператора V мы должны считать распространяющимся и на v и на а. Согласно вышеприведенному правилу дифференцирования мы должны написать
(V-V) a = (V-Vc) a -f- (V-v) а,
В выражении (V ¦ vc) мы должны, имея в виду постоянство вектора V0, переставить V с vc; итак
(V • vc) a = (vc • V) a + (v • V) а
(раз V стоит перед V- оператор V v не действует, и незачем писать значок с). Далее
(V • V) ас = а,. (V • V) = а (V • Ў)
и эначит
{V • V) а - (v . V) a + a (V • V) = (v • V) a + a div V (23)
Если мы применим обобщенную формулу Гаусса — Остроградского (19) к (V * v) а, мы получим
^ (v . v) a dV = ф (п • v) a dS - ф a v„dS
VSS В силу предыдущей формулы, получаем важное соотношение
^([v- V) a + a div v] dV = фа vndS (24)
В частности при a = v, получаем формулу
^ l(v»V) V +vdiwjrfF = ф »nvd5 (25)
v s
4. Остановимся еще на одной дифференциальной операции второго порядка, а именно, составим расхождение потенциального вектора div grad ф. Так как§15
ОПЕРАТОР ГАМИЛЬТОНА
16S
или
div grad, =^- + ^ + 5 (26)
Выражение
=A (27)
называют оператором Лапласа, а уравнение
Д Ф = 0 (28)
уравнением Лапласа.
В символической форме мы имеем
div grad ф — У'Уф=5 (V-V) ф (29)
Но скалярное произведение V ' V> которое чаще обозначают через V2» очевидно, равно как раз Д:
гт'^ а а , а а , a a . ^a , э» л .„„.
v* V = + + (3°)
Заметим еще, что так как
div а = Iim —
v-h)
то, полагая а = grad ф, On = , получим
HS
Д«р = KJty = Iim --(31)
v-Hl у
и в соответствии с этим
\A(fdV (32)
v s
5. Откладывая пока дальнейшее изучение символического способа, обратимся к некоторым физическим применениям понятия расхождения-