Векторное исчисление и начала тензорного исчисления - Кочин Н.Е.
Скачать (прямая ссылка):
3. Принимая во внимание, что если мы имеем вектор А, проекции которого на оси координат суть Ax, Ay, Az, то проекция его на любое направление п будет равна
An — Ax cos (n, х) 4- Av cos (п, у) 4- Az cos (п, г)
Мы можем заключить в силу формулы (11), что если ввести вектор rot а с проекциями
rot я — д"г — d"v Tot а — Эа* rot я — М9)
то проекция этого вектора на любое направление п (в том числе и на направления X, у, Z) будет определяться формулой
= rotn а (13)
Эта последняя формула дает определение любой проекции вектора rot а и притом, как видно, совершенно независимое от выбора координатной системы.
Полученный нами вектор rot а называется вихрем вектора а; обозначение его rot а происходит от латинского слова rotor (вращатель). Часто вихрь вектора а обозначают через cur! (читается кёрль, что значит по-английски локон, завиток). Наконец очень часто вихрь вектора а записывают как векторное произведение оператора Гамильтона V а вектора а:
rot a = S7 X а
В самом деле, составляя векторное произведение по формуле AxB = і (AvBz - AzBy) 4- j (AzBx - AxBz) 4- k (A^By - AvBx),
где
» л - » л д - § 16 циркуляция вектора вдоль контура 169
легко найдем
VX—»(?-?)+Jfc-Sf) +k(fc-= rot а (14) Отсюда, в силу § 15, следует сразу еще новое представление rot а
n X a AS
rot a = Iim —р--(15)>
v-m v
где V — бесконечно малый объем, стягивающийся в точку М, S — ограничивающая этот объем поверхность, наконец п — единичный вектор нормали к этой поверхности. Эта формула аналогична формуле (5) § 15 для-div а и формуле (7) § 15 для gradip.
Но вернемся к первоначальному определению (13) rot а. Эту формулу можно переписать еще так:
ф а-Лг
rot a-n = j rot a I cos (rot a, n) = Iim c „ (16)
причем площадка S перпендикулярна единичному вектору п.
Отсюда сраау выводим, что если для различных направлений п мы определим значение предела
<|> a-dr
Cn = Iim — (17)
S-O л
и найдем максимум Cn, то rot а равен по величине атому максимуму и имеет то направление п, при котором этот максимум достигается (ибо-проекция всякого вектора будет максимальной тогда, когда за ось проекций берется направление этого вектора).
Чтобы разъяснить на простом примере, что характеризует собою вихрь вектора, рассмотрим поле скоростей твердого тела в некоторый момент.' времени
v = v0 + со X Г
vX= »<* + <ам2 — шгу (18)>
Vy = Vav + ШгХ — GJxZ Vz = Voz + Шху — WlrZ
Составляем
TOt1V = ^ — + 2шх, г Oty V = 2сов, rotj V = 2ш,
Следовательно,
rot v = 2 (шхі + шJ + <огк) = 2ш (19)
Таким образом rot v в этом случае представляет удвоенную угловую скорость вращения твердого тела 170
векторный анализ
I л. II
Если мы имеем дело с полем скоростей жидкости, то, как можно доказать, у rot v будет угловой скоростью вращения бесконечно малого объема, окружающего точку Af1 в предположении, что в рассматриваемый момент времени этот объем жидкости внезапно отвердел. Это объясняет и наименование «вихрь» вектора, так как в обычном представленив вихри связаны с интенсивным вращательным движением частиц жидкости.
Вычислив rot а во всякой точке поля вектора а, мы получаем новое поле вектора вихря а. Графическое представление этого нового поля дается векторными линиями вектора вихря а или, как их называют еше иначе, вихревыми линиями вектора а.
4. Важнейшая теорема, связанная с понятием вихря, есть теорема -Стокса, дающая преобразование линейного интеграла в поверхностный: Циркуляция вектора по замкнутому контуру равна потоку вихря
вектора через поверхность, ограниченную данным контуром
ф а • dt =^ rot a -<2S =( rot„ a dS
cs s
(20)
Доказательство аналогично доказательству теоремы Гаусса — Остроградского. А именно, разделим поверхность S на малые элементы Ska, которые будем стремить к нулю (фиг. 59). Для каждого элемента, выбрав по произволу положительное число е, можем написать неравенство
Фиг. 59
|фа-<Лг— rot^a.^fc j < eS,f
ck
если сделать Sk достаточно малым.
Сложим все зти неравенства и заметим, что линейный интеграл будет взят только по С, так как интегралы по всем остальным элементам кривых Ck попарно уничтожатся:
'dt — 2 rot„a-Ss < sS
В пределе при Sk -» 0 получим
<у л-dt — С TOtn а dS < s5
с S
и так как є можно выбрать по произволу,
^>a*<fr = ^rotnadS1
с s
что и требовалось доказать. § 16 циркуляция вектора вдоль контура
171
Заметим, что обратно, иа формулы Стокса можно вывести формулу (13) я притом уже без тех ограничений, которые мы накладывали на вид контура С при первоначальном выводе формулы (13).
5. Укажем несколько следствий из теоремы Стокса.
Бели а — потенциальный вектор, т. е. a = grad ф, то линейный интеграл по всякому достаточно малому контуру, окружающему точку P1 обращается в нуль, т. е.
фа-<йг = О
с
Следовательно,
rotn а = О
и, так как это справедливо для всякого направления, то тождественно
rot grad ф = О (21)
Это видно и непосредственно из выражений для градиента и вихря, ибо
