Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Кочин Н.Е. -> "Векторное исчисление и начала тензорного исчисления " -> 61

Векторное исчисление и начала тензорного исчисления - Кочин Н.Е.

Кочин Н.Е. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления — М.: Наука , 1965. — 427 c.
Скачать (прямая ссылка): vektornoeischeslenieinachalo1965.djvu
Предыдущая << 1 .. 55 56 57 58 59 60 < 61 > 62 63 64 65 66 67 .. 144 >> Следующая


U + P +-j-= const (40)

сохраняет постоянное значение. Это равенство называется уравнением Вернуллщ при этом U называется потенциальной энергией, P — внутренней энергией и -j- Vі — кинетической анергией (отнесенной к единице массы). Таким образом, при указанных условиях сумма кинетической, потенциальной и внутренней энергий сохраняет постоянное значение вдоль линии тока. Например, для случая несжимаемой жидкости, находящейся под действием силы тяжести, будем иметь

gz + — + = const (41)

P ^

Возвращаясь к уравнению (35), т. е. считая условия 1) и 2) выполненными, сделаем теперь другое предположение, а именно, что рассматриваемое нами движение жидкости является безвихревым, т, е. что

V = grad ф (42)

Мы знаем, что в этом случае

rot V = 0 (43)

Далее мы имеем очевидное равенство

grad (44) 132

ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ

Гл. Il

и, следовательно, равенство (35) принимает вид

grad = — grad П

Отсюда следует, что

ІЇ. + п dt ^ 1

не зависит от положения точки и может зависеть только от зремени, так что

дф

dt

¦+и + P+ -K-=g(0 (45)

во всей области, занятой жидкостью. Это равенство называется интегралом Koutu; оно имеет место для безвихревых движений идеальной баро-тропной жидкости, находящейся под действием консервативных сил. Если жидкость несжимаема, то получим

и можем отсюда найти р. Мы знаем, что в этом случае уравнение неразрывности имеет вид

div V = 0 (47)

или, если воспользоваться (42),

Дф = 0 (48)

Рассмотрим теперь случай сжимаемой жидкости. В этом случае уравнение неразрывности имеет зид (§ 15, формула 42)

+ v.grad р -t- P div v = 0

яли

+ grad ф-grad р -f рДф = 0 (49)

Уравнение же (45) принимает вид

-Ц- + V + P + I (grad ф)* = g (t) (50)

и так как P есть определенная функция от р, то получилось два уравнения с двумя неизвестными функциями P И ф.

Остановимся в частности на случае малых колебаний сжимаемой жидкости при отсутствии внешних сил. Таким образом надо положить U = 0 и кроме того надо пренебречь всюду квадратами производных в сравнении с их первыми степенями. В результате получим

% + РДФ = 0 (51)

-?1 + P = g (і) (525 i 17 некоторые формулы с дифференциальными операциями 182.

Сделаем теперь замену функции ф, положив

ф = ф 4- ^ g (t) dt и

Тогда, очевидно, будет

?-? + »«. дф = ЛФ

Поэтому Предыдущая система примет вид:

*|р+дф = 0 (53)

Ї + Р- 0 (54)

Продифференцировав последнее уравнение по t, получим

где

дР _ р,, . op _ 1 dp__1 dp dp_dp д Iy p

Si ~ {P'di J(P)St ~ p ipal ~їр Й

Так как колебания газа предполагаются малыми, то р и р мало отличаются от значений ро и ро, соответствующих состоянию покоя. Обозначим через сг значение

Cs ^iJ (56)

dp

вычисленное для значений ро в ро величин р и р; тогда можем считать, что

|? (57)

и в силу уравнения (53) будем иметь

^ = — с2 ДФ (58)

Поэтому уравнение (55) приводит нас к уравнению для функции Ф

и_с*дф=0 (59)

которое носит название волнового уравнения.

Вернемся еще раз к уравнению (35), т. е. опять будем считать условия 1) и 2) выполненными, но не будем теперь предполагать движение безвихревым, иными словами будем считать, что

rot v = Q (60)

отличен от нуля. 184

ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ

Гл. Il

В этом случае можно составить дифференциальное уравнение, определяющее изменение вихря Q с течением времени. К выводу этого уравнения мы сейчас в обратимся. Для этого применим к обеим частям уравнения (35) операцию rot, в результате получим

rot — rot (v X rot v) = — rot grad u (61)

Ho мы имеем следующие формулы: прежде всего ясно, что

.дм д rot V OQ /со\

го dt = ~дГ~ = Ж (62)

далее, по формуле (6)

rot (vxrotv) = rot (vX Q) = (fl. V) V — (v-V) Q+vdiv Й—? div v (63) Наконец по формулам (12) и (13) мы имеем

rot grad П = 0, div Si = div rot v = О Поэтому уравнение (61) принимает следующий вид

+ (v-V) ? — (Q^V)v + Qdivv = О (64)

или, вспоминая связь между полной и частной производными вектора [§ 13, формула (18)]

(Q-V)V 4- Qdivv =O (65)

Это уравнение и определяет изменение вихрей с течением времени. Мы выясним характер этого изменения более подробно в дальнейшем.

В качестве следующего примера рассмотрим вопрос о вычислении Кинетической энергии в гидродинамике.

Допустим, что мы рассматриваем движение несжимаемой жидкости. Рассмотрим некоторый произвольно вырезанный объем жидкости Vi ограниченный поверхностью S, тогда элемент объема dV, имеющий массу рdV, будет обладать кинетической энергией

P^V

а полная кинетическая энергия всего объема жидкости V будет равна

T =JpJi^ (66)

V

Если мы рассматриваем безвихревое движение несжимаемой жидкости, так что

V = grad <р (67)

то мы будем иметь

T= ipJ(grad<p)W (68? i 17 некоторые формулы с дифференциальными операциями 185.

До формуле (18) мы можем преобразовать это выражение в случае, если ф есть однозначная функция, к виду

Т = TP^Dlds -ТР^Ф ДФ^ (69)

S v

Но для безвихревого движения несжимаемой жидкости, как мы знаем div V = Д ф = 0 (70)
Предыдущая << 1 .. 55 56 57 58 59 60 < 61 > 62 63 64 65 66 67 .. 144 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed