Векторное исчисление и начала тензорного исчисления - Кочин Н.Е.
Скачать (прямая ссылка):
Начнем с вывода уравнения теплопроводности. Допустим, что мы рассматриваем некоторое тело и изучаем тепловое состояние его. Последнее будет известно, если для каждой точки тела мы будем знать температуру T в любой момент; иными словами, тепловое состояние тела характеризуется скалярной функцией T- (г, г) = T (х, у, г, t).
Если функция T не зависит от времеап, мы говорим о стационарной Задаче теплопроводности, в противном случае о нестационарной. 156
ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ
Гл. Il
Рассмотрим внутри тела некоторый объем F, ограниченный поверхностью S, и подсчитаем двумя способами изменение количества тепла, заключенного в объеме F (фиг. 55).
Плотность тела обозначим через р (если тело неоднородное, то р будет функцией точки р (г) = р (X, у, z)), а теплоемкость через с (в случае неоднородности тела с тоже есть функция точки).
Рассмотрим элемент dV объема; масса этого элемента равна р dV\ за время dt этот элемент нагревается на ат
at
dt
градусов; на это требуется, по самому определению теплоемкости, количество тепла, равное
dQ
cpdV^di
Фиг. 55
интегрируя по всему объему, увидим, что за время dz всему объему V необходимо было
сообщить количество тепла, равное
Q = \сР ^dV dt
v
Это же самое количество тепла можно подсчитать иным способом. Мы принимаем, что тепло передается только процессом теплопроводности. тогда в каждой точке тела будет существовать такой вектор потока тепла q {г, і), поток которого через некоторую поверхность S дает количество тепла, протекающего через эту поверхность в единицу времени. Таким образом за врем dt через поверхность S вытечет количество тепла, равное
ф qn dS dt
s
я, следовательно,
Q= — <|)qndS dt
Приравнивая два полученных выражения для Q, находим равенство \cP^-dV = -§qndS
v s
Но по теореме Гаусса — Остроградского ф qn dS = I div q dV
\ (cp-?1 + div q) <*F = 0 (34)
и, следовательно, §15 ОПЕРАТОР ГАМИЛЬТОНА
16S
Так как это равенство справедливо для любого объема V, то подынтегральная функция должна тождественно равняться нулю. В самом деле, возьмем какую-либо точку M и примем за объем V бесконечно малый объем, стягивающийся к точке М, тогда мы будем по теореме о среднем иметь
(Cp^ + divq)MiF = 0
где М\ — некоторая средняя точка объема V. При стягивании объема V к точке M, точка Afl тоже будет стремиться к точке M ив силу непрерывности подынтегрального выражения в формуле (34) мы получим, переходя в последнем равенстве, поделенном на V, к пределу, что
ер + div q = 0 (35)
в любой точке M внутри тела.
Рассмотрим теперь, как зависит q от Т. Так как поток тепла направлен, очевидно, от более нагретых частей тела к более холодным, а вектор grad T направлен, наоборот, от более холодных частей к более теплым, то можно принять, по крайней мере для изотропных тел, что
q = — к grad T (36)
где к — коэффициент теплопроводности, который в случае неоднородности тела будет иметь в различных точках различные значения. Подставляя значение (36) для q в уравнение (35), получим уравнение теплопроводности в следующем виде
C9^r- div (к grad Т) = 0 (37)
Остановимся еще на том частном случае, когда к и ср являются постоянными величинами; обозначая в этом случае А/ср через а и вспоминая, что div grad T = Д7\ получим, что
-—-аДГ (38)
Наконец для случая стационарной задачи теплопроводности = О, н уравнение теплопроводноств принимает вид
ДГ = О (39)
так что в этом случае температура удовлетворяет уравнению Лапласа.
Для того, чтобы можно было полностью решить какую-либо задачу о теплопроводности, нужно задать еще граничные и, в случае нестационарной задачи, еще начальные условия, но на этих вопросах мы будем останавливаться только прв наличии в том надобности. 6. Рассмотрим теперь основные уравнения гидромеханики. Выведем прежде всего так называемое уравнение неразрывности. 158
ВВКТ.ОРНЫЙ АНАЛИЗ
Гл. П
Мы будем рассматривать движение газа или, как иначе принято называть, движение сжимаемой жидкости. Обозначая плотность последней через р, будем иметь, что р есть функция точки и времени р (г, ?). Движение жидкости может быть охарактеризовано заданием поля скорости V1 т. е. заданием скорости v как функции точки и времени V (г, I). Во всяком движении жидкости функции тир связаны уравнением, которое называется уравнением неразрывности. Мы выведем это уравнение аналогично уравнению теплопроводности, подсчитывая двумя различными способами изменение массы жидкости, находящейся внутри неподвижной поверхности S, произвольно взятой.
Бели V — объем, ограниченный этой поверхностью, то масса элемента объема dV будет равна р dV, а масса жидкости, находящейся внутри поверхности S, равна
M =[pdV
V
За время dt плотность р получит приращение dt и соответственно с этим изменение массы М, находящейся внутри неподвижной поверхности S, будет равно
dM =^tfF dl
V
Но изменение, массы могло произойти только за счет того, что какая-то масса жидкости прошла через поверхность S, ограничивающую наш объем. Бели рассмотреть элемент поверхности dS, внешняя нормаль к которому есть а, то через этот элемент за время dt вытечет наружу объем жидкости, равный vn dS dt, масса же этого объема равна рvndS dt, через всю же поверхность вытечет масса
