Векторное исчисление и начала тензорного исчисления - Кочин Н.Е.
Скачать (прямая ссылка):
% = (16) В результате получим так называемую формулу Грина
^ {фДФ + grad ф• grad ф} dV = фф dS (17)
которая при ф = ф превращается в формулу
\ {фДф + (grad ф)г) dV = ф ф -g-atf (18)
V в
а при ф = 1 — в формулу
\ Д^ = <§>-5^ (19)
V S
Поменяем теперь в формуле (17) ф и ф местами и вычтем получившуюся в результате формулу
^ <ФДФ 4- grad Ф-grad ф> dF = ^ ф-^-eJS
V S
из формулы (17). Мы найдем тогда вторую формулу Грина
^ {фДф — ФДф} ЙУ = <|> |ф — ф-|~j dS (20)
V S
Конечно, при всех зтих выводах предполагается, что те функции, с которыми приходится иметь дело, так же, как их производные, которые встречаются в формулах, являются непрерывными функциями в рассматриваемой области. Но легко видеть, что эти формулы будут верны, например, и тогда, когда вторые производные функции ф и ф терпят на некоторой поверхности разрыв.
Из формулы (19) вытекает следующее представление оператора Дф:
Дф = Iim --(21)
V-O v
Если теперь мы имеем поле некоторого вектора а, то мы можем определить вектор у2а = Да аналогичным соотношением
J Зл
dS <у (n-V) a dS
S
V*a = Да = Iim -= Iim -S-v--(22)
V-И) У V-Hl * § 17 некоторый формулы с дифференциальными операциями 179
Если вектор а имеет составляющие ах, Oy, аг:
а = ie, + Jav + Ica1 (23)
то очевидно, что
і & a^ dS + j § dS + к & dS J дп J on J дп
Да = «и —--2-= iAfl- + JAe,- + к Ддг (24)
V-H)
так что проекциями вектора Да являются Даж, Да„, Да2. Аналогичной формуле (19) является формула
AadV =|> dS = (n-V)aa!S (25)
VSS
Применим символический метод к вычислению вектора rot rol а: rot rot а = VX(VXa) = V (V"») — (V'V) « =1 V (V-a) — V2а
rot rot a = grad div a — Да (26)
Дадим более строгий вывод этой формулы. Вычислим для этого составляющую вектора rot rot а по оси х. Имеем
д д rotx rot а = rot2 а — rotv а =
-!М- J-Ia^- ( maV і а'я») {а'а* і fflM
^ ду V дх ду ) dz \ dz дх j \дх ду дх oz J і, dtf Зг2 )
1ГГ , ^0X
Прибавляя и вычитая по -^r , получим:
IstaX
I-Otx rot а = -^5-
Э>ау д*аг \ I дгах \
дх ду ThTfc) \ й®2 + "Зр- + ~
= І div а - А«х
так как такие же равенства имеем для осей у и 2, то, умножая соответственно на i, j, к и складывая, сразу получим
rot rot а = grad div а — Да
3. Рассмотрим теперь некоторые применения выведенных в этом параграфе формул.
Мы вывели в § 15 п. 6 основное уравнение гидродинамики идеальной жидкости
If + (Ў•¦V) V = F - -1 grad р (27)
Воспользовавшись формулой (10), можем переписать это уравненве в другой форме
Ij- — vxrot V + grad -у- = F — -?-grad р (28)
12* 180
ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ
Гл. Il
Сделаем теперь еще добавочные предположения, а именно:
1) Будем считать, что вектор внешней силы F, действующей на единицу массы жкдкости, обладает потенциалом U (такие силы называются консервативными)'.
F--grad U (29)
Например, если действует сила тяжести и ось z направлена вертикально вверх, то
U = gz (30)
2) Будем кроме того считать, что плотность жидкости р является функцией давления:
P = 1 (P) (31)
в этом случае жидкость называется баротропкой.
Это имеет место, например, для несжимаемой жкдкости (р = const); далее это имеет место для тех движений газа, которые происходят изотермически, т. е. при постоянной температуре, так как в этой случае, как известно из физики, по закону Бойля-Маркотта, имеет место равенство р = RTp, т. е. р/р = const; наконец равенство (31) имеет место и для тех движений газа, которые происходят изэнтропически, т. е. так, что выполняется равенство
?- = const (к = ) (32)
р* V cV '
где X есть отношение теплоємкостей прк постоянном давлении и при постоянном объеме; из термодинамики известно, что при выполнении равенства (32) движение каждой частицы жидкости происходит без какого-либо притока или отдачи тепла.
Введем теперь в рассмотренке функцию
в заметим, что
grad P = F' (р) grad р = -щ- grad р = grad р (34)
Поэтому уравнение (28), при выполнении упомянутых выше двух условкй, может быть переписано так:
~ - VX rot у = - grad (u + P 4- -j-) = - grad П (35)
где
П = U + P (36)
Возьмем теперь какую-нибудь точку жидкости Ma и проведем через нее линию тока Af0M. Составляя криволинейный интеграл по этой лкнии тока от обекх частей предыдущего равенства, получим мм м
^ .dr - ^ (vxrof, v) • dr = — ^ grad П-dr (37)
м, м, и. i 17 НЕКОТОРЫЕ ФОРМУЛЫ С ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМИ ОПЕРАЦИЯМИ 181.
Но в каждой точке линии тока касательная к ней имеет то же направление, что и вектор скорости у, т. е.
-^-Xv = O, или u!rxv=0
Поэтому на линии тока MnM
(vXrot v)¦ dx = rotv(<irXv) = 0
В результате равенство (37) принимает вид
м м
J -dr = _ J dO. = П (Л/о) - П (M) (38)
M0 м,
В частности, в случае стационарного движения, т. е. движения, в котором V, р и р не зависят от времени t, а могут зависеть только от координат х, у, г, мы будем иметь, что
и, следовательно:
П {М) = П (Ma) = const (39)
т. е. в случае стационарного движения идеальной баротропной жидкости, находящейся под действием консервативных сил, вдоль каждой линии тока сумма
