Векторное исчисление и начала тензорного исчисления - Кочин Н.Е.
Скачать (прямая ссылка):
div (фа) = ф div а +¦ а «grad ф (2)
В задачах 119 и 123 мы непосредственным вычислением определили rot (фа) и div (а х Ь). i 17 некоторые формулы с дифференциальными операциями 175.
Покажем теперь, как получить эти величины применением символического метода. Мы имеем
rot (ф, a) = V X (ф а)
Согласно данному в § 15 правилу, мы должны написать
ух(фа) = ухфса + ухфас
где значок с указывает, что соответствующую величину надо считать, постоянной. Но ясно, что
V X фс а = фсу X а = ф rot а
V X ф ас = Уф X ас = — а„ X Уф = — а X grad ф
Следовательно,
rot (ф а) = ф rot а — а X grad ф = ф rot a + grad ф X а (3)'
Точно так же пусть два переменных вектора а и Ь — функции точки; тогда, пользуясь свойством циклической перестановки векторно-скаляр-иого произведения [§ 7 (2)], легко получим
div (a Xb) = У-{a Xb) = У-(а х h,.) + У-(ас X Ь) = = (У X a).be - У-(Ь X ас) = (У X а)-Ьс — (У X Ь)-ас — Ь„.(У X а) — а^у Xb) = b-(y X а) — a.(V X Ь)
т. е.
div (а X Ь) = b-rot а — a-rot b (4)
Как видно, метод вычисления состоит в том, что когда все векторы, кроме одного, положены постоянными, нужно так преобразовать выражение, чтобы все постоянные векторы оказались перед оператором У,, а переменный — позади него.
В качестве следующего примера вычислим
rot (а X b) = У X (а X b)
По общему правилу имеем
У X (а X b) = V X (а X be) + У X (ас У Ь)
Преобразуем первый член суммы правой части; по формуле для двойного векторного произведения имеем
Cx(AxB)=A (B-C) - В (C-A) (5)
причем правую часть зтой формулы можно написать в шестнадцати различных видах, так как, например, выражение A (B-C) равно также и A (C-B) и (B-C) А н (C-B) А 17Ь
ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ
Гл. XI
Полагая в предыдущей формуле С — XJ, А = а, В = Ьс, мы должны дать такую форму правой части, в которой he стоит перед V, а а после V, т. е. мы должны написать
V X (ах bc) = (W) а — MV-а)
Точно такие же рассуждения приводят к формуле VX(BliXb) = Bc (V-b) - (Be-V) ь
Складывая оба эти выражения и откидывая ненужные теперь значки с, мы придем к формуле
VX(аXb) = (b»V)a — b(V-a) + a (V'b) — (a-V)b яли, что то же,
rot (axb) = (Ь- V) а — (а- V) Ь 4- a div Ь — Ь div а (6)
В качестве следующего примера вычислим grad (а-Ь). Прежде всего -имеем
grad (а-Ъ) = V (a-b) = V (a-bj H- V («с-Ь)
Но из (5) ясно, что мы имеем формулу
В (C-A) = А (В.Q — CX(AxB) или, произведя циклическую перестановку А, В, С
С (A-B) = В (С*А) — Ax(BxC) (7)
Переставим в этой формуле А с В:
С (В»А) A (C-B) — BX (AxQ (8)
Положим в формуле (7) С = V» А = а, В = Ьс, тогда получим
V (а-Ьс) = Ь,. (V*a) H- (heX V)Xa
Эта формула верна, но непригодна для нас, так как в правой части стоит сложная операция (bXV)Xa, а мы хотим все выразить через более простые операции. Поэтому применим формулу (8), положив С = XJ, В = Ьс. А = а а взяв ее в форме
С (В.A) = (B-C) А + BX(CXA)
В результате получим
V(Va) = (bc-V) a + h.X(Vxa)
Точно так же мы выведем, применяя формулу (7) и полагая С = V> X — а,., В = b
V(ao-b) = (а,;- V) Ь + a«X(VXb) i 17 некоторые формулы с дифференциальными операциями 176.
Складывая оба выражения и отбрасываяненужные теперь значки с, получим
V (а-Ь) = (b-V) a + bX(VXa) + (a-V) Ь 4- ax(VXb) или, что то же,
grad (а-Ь) = (b. V) a 4- (a-V) b + bXrot a + a rot b (9)
Положим, в частности, в зтой формуле b = а. В результате получим
grad -у- = (a« V) a + aXrot а (10)
2. Операции grad, div, rot, v. V могут быть названы дифференциальными операциями первого порядка.
Рассмотрим теперь основные дифференциальные операции второго порядка. Так как grad ф и rot а суть векторы, к ним можно применить операции div и rot, в результате получаем четыре операции div grad ф, rot grad ф, div rot a, rot rot а; к расхождению же div а можно применить только операцию grad, в результате получится grad div а. Мы уже видели (§ 14), что
div ^гагіф = V-V ф = (V-V)ф = W = Дф (11)
Далее, по формулам (21) и (26) предыдущего параграфа, вихрь градиента и расхождение вкхря разны нулю:
rot grad ф = 0 (12)
div rot а = 0 (13)
Символическим способом зти формулы получаются моментально, ибо
rot grad ф = VX Уф = (VX V) ф = О
так как векторное произведение двух одинаковых векторов равно нулю. Точно так же
div rot a = V - (V X а) = 0
так как векторно-скалярное произведение трех векторов, из которых два одинаковы, обращается в нуль. Однако такой вывод формул (12) и (13) нужно признать скорее мнемоническим правилом, чем строгим доказательством, так как обращение с символическим вектором V требует известной осторожности.
Рассмотрим еще несколько важных для дальнейшего формул. Пусть Ф и ф — две скалярные функции точки. Составим вектор
а = ф grad ф (14)
Тогда по формуле (2) будем иметь
div(фgradф) = ф div grad ф + grad ф-grad ф =фДф+gгadф•grad ф (15)
12 H. В. Кочан 178
ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ
Гл. Il
Применим теперь формулу Гаусса — Остроградского ^ divadF = <J>an dS
V S
Заметим, что в рассматриваемом случае
