Векторное исчисление и начала тензорного исчисления - Кочин Н.Е.
Скачать (прямая ссылка):
S j cos (п, г) j = I(S2)I § 16 циркуляция вЕктора вдоль контура
165
С другой стороны, если п составляет с осью z острый угол и выбрана, например (как показано на фиг. 57), левая система координат, то Cz направлена по часовой стрелке (если смотреть с положительной стороны оси г), так что вектор, представляющий ограниченную контуром Cz площадь, надо направлять по положительной оси z, т. е. надо брать равным I Sz ] k = Szк (ибо в этом случае ] Sz | = Sz). Если же угол п с осью z тупой, то C1 обходится против часовой стрелки, и площадь проекции надо представлять вектором — [52|к, опять равным 5,к, ибо в этом случае
[Sz I = S I соз (п, г) [ = - S соз (а, г) = — Sz
Если С кривая, не лежащая в одной плоскости, т. е. кривая двоякой кривизны, то она не ограничивает плоской площадки; в этом случае можно рассмотреть кривые поверхности, ограниченные контуром С, эти кривые поверхности могут быть представлены вектором S, который получается следующим образом. Проектируем контур С на три плоскости координат Oyz, Ozx, Оху\ полученные проекции Cxl Cv, Cz ограничивают три площадки, которые могут быть представлены векторами Saj, S2k; тогда
S = iSx + jSy + kSz
Вычислим теперь несколько криволинейных интегралов, которые нам понадобятся при вычислении общего криволинейного интеграла (2).
Прежде всего очевидно, что
Фиг. 57
ф dx = 0, ф X dx = ф d (у) = О
С GC
Вычислим далее ф у dx. Прежде всего ясно, что
(5)
1
*
^y dx — ф у dx (6)
Сг С
ибо в соответствующих точках контуров С и Cz координаты X и у одни и те же, и только координаты Z —разные. Но легко видеть, что
Фиг. 58
ф у dx =
(7)
В самом деле, пусть ордината, отвечающая элементу dx, пересекает C1 в двух точках: M1 и M2 (фиг. 58), тогда при обходе контура по часовой стрелке элемент, отвечающий точке M1, надо брать с отрицательным знаком [на этом элементе х убывает (фиг. 58)], а элемент, отвечающий точке 166
вЕкторный анализ
Гл. Il
Af3, с положительным,, поэтому элемент dx дает интегралу член
(— + Уі) = — <Уі — Уз) dx
где yi я уг означают ординаты точек Af, и M2. Но (у^ —dx есть как раз часть площади, отвечающая элементу dx; суммируя по всем элементам, найдем:
ф у dx = -S1
я, следовательно,
"> у dx = — S1 (8)
Ь
G
сто и требовалось доказать. Точно так же доказывается, что
<|> Z dx = г dx = Sv (9)
с Cv
2. Возьмем теперь фиксированную точку пространства Af, которую, удобства ради, перенесем на время в начало координат. Рассмотрим далее расположенный вблизи точки M бесконечно малый контур С, на котором задано определенное направление обхода. Предположим, наконец, что соответствующий всем поверхностям, натянутым на этот контур С, вектор S = Sn стремится по величине к 0, а по направлению — к фиксированному направлению, орт которого обозначим через пй.
Поставим теперь задачу вычислить значение линейного интеграла вектора а вдоль С или, как его называют иначе, циркуляцию а вдоль Ci
ф a.fiur = ф (a^dx + a^dy + azdz) с с
Точнее говоря, вычислим значение следующего предела;
^ ф (axdx 4- aydy + a/lz)
lim ІЦ— =Iim ?--.--(10)
S-Hi л S-»o л
когда контур С стягивается к точке М. Достаточно найти, чему равняется
f
і ах (х, у, г) da
Iim е--
s-H) л
Разлагая ах (х, у, z) в ряд Тейлора по степеням х, у, z и ограничиваясь только членами первой степени, будем иметь
«х (z, у, z) =
- ах(0, 0, 0) + «[(?)„+ S1] +,[(%) о+ Еї] + -[(?)„+..] § 16 циркуляция вектора вдоль контура
167
где индекс О указывает, что нужно брить значение указанных производных в точке M (как всегда, производные дах / дх, дах / ду, daj dz в т. д. предполагаем непрерывными) и где S1, Si, еэ означают бесконечно малые величины.
Проинтегрируем вдоль кривой С, причем постоянные множители вынесем ва знаки интегралов
& ах (X, у, 2,) dx = ах (0, 0, 0) § dx + xdx +
с сс
+(Ss)0Iу dx + 8f)o§г dx+§ +уе*dx
С CC
Применим выведенные выше формулы
ф dx — ф X dx = 0, ф у dx = — Sz = — S соэ(п, г) сс с
ф Z dx = Sv =S cos (n, у)
с
предположим далее, что контур С обладает таким свойством, что если наибольшее расстояние точек контура от M рбозначить через р, то длине контура будет порядка р, а величина S порядка ра, тогда легко видеть, что
<?(38! + JfSs + ze8) dx = Se
с
где з — бесконечно малая величина. Итак
<§> ах (ж, у, z)dx = — (^f)0cos (її, z) + (^f)QCos (n, y) + s с
Отсюда в пределе S —> О получим
$ aXdx
l^o2-S---Srfocoa *> + Шо cos (-0. г/)
Аналогично получаем еще две формулы (циклической перестановкой букв X, у, г)
К - - (??003 (п"+(Socos (п<-г) И» Ч---Oo cos К. f) + (%)0соа (П0, з) 168
ВЕКТОРНЫЙ А НАЛИВ
Гл.- II
Складывая асе три выражения и отбрасывая значок О, получим следующую формулу:
і a ir
1S "
- (? - 50 - <- ¦» + №-?)- <- *¦+ (? ¦- їг)
Таким обрааом, подобно тому, как значение ЗфJds позволяет вычислить ф в соседних с M точках, лежащих на определенной прямой, значение только что найденного выражения позволяет вычислить приближенно циркуляцию по любому достаточно малому контуру, окружающему точку M и лежащему в плоскости, перпендикулярной к вектору п.
