Справочник по дифференциальным уравнениям в частных производных первого порядка - Камке Э.
Скачать (прямая ссылка):
F = г — uv, G — и — у, // = — — 1,
то уравнения (6) имеют решение z — у2, не являющееся, однако, интегралом уравнения (14). Это, впрочем, не противоречит теореме (б), поскольку здесь
СО. = а
Если положить
F = z — uv, G = х — v, Н = у — и, то из уравнений (13) получим полный интеграл
г = — а) (у —6). Если мы выберем первые интегралы
F = г — uv, G = a(x — f) + У — и, Н = ~ ,
то из уравнений (13) получаем полный интеграл
z = -^(ax + y-b)>.
9.3. Случай одного неочевидного первого интеграла. Если для дифференциального уравнения (1) найден только один первый интеграл G в собственном или специальном смысле, независимый от очевидного интеграла F, то также удается получить полный интеграл. С этой целью разрешают уравнения
F(x, у, z, и, г/) = 0, G(x, у, z, и, v) = a (15)
при произвольном а относительно и, v; это дает, вообще говоря, числовую систему лг0, у0, z0, и0, v0, которая удовлетворяет обоим уравнениям, причем функциональный определитель ^ ф 0 в окрестности этой точки. В этом случае оба уравнения (15) имеют в окрестности точки (лг0, у0, Zf) непрерывно дифференцируемое решение u=U(x, у, z), v=V (х, у, z). Используя это решение, образуют систему дифференциальных уравнений
? = U(x.y.z), -^ = V(x,y.z) (16)
и ищут ее решение z — ty(x, у). Так как из предположений следует условие интегрируемости
uy+vuz=,vx+uvz
в окрестности точки (х0, у0, г0), то (ср. с п. 7.1) такое решение существует, и при этом можно выбрать для ф(лг0, у0) еще одно
96 ГЛ. II. НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ [9.4
дх ~} г ' ду ~ у + Ь ' ее решение
г=(х + а)(у + Ь).
Тот же результат получают со вторым из первых интегралов; с третьим получают полный интеграл в виде
. Пример 2. (xp+jq — г)2 = (р2 + q2) / (х2 + у2).
В п. 9.1 (б) был найден специальный первый интеграл (ур — xq)/z. Если приравнять его к А, то, разрешая это и исходные уравнения относительно р, q, получаем:
dlnz _ Ау_ х х
дх г2 "г" г2—/ * r2(r2 — f) у •
д\пг _ Ах . у у fjr
ду г2 г2 — / r2(r2 — f) г
где г2 = х2 -f- у2, R = (А2 + г2) / — у42/2. Отсюда можно найти In г, ввеця вместо х, у полярные координаты.
9.4. Получение однопараметрического семейства интегралов из двух неочевидных первых интегралов. Может случиться, что наряду с очевидным первым интегралом получаются два специальных первых интеграла G, Н, которые, однако, не находятся в инволюции. Тогда путем специального выбора в (13) констант а, b иногда удается добиться получения однопараметрического семейства интегралов исходного уравнения (1).
Пример, pq = х-\-у + г.
Из характеристических уравнений
•*' = ?, У' = P. z' = 2pq, р'=р+1, q' = q + l находим первые интегралы
д + х — у.
Е+1 q+l'
произвольное значение b в достаточно малой окрестности z0. Тогда функция ? = ф(лг, у; а, Ь) будет общим интегралом уравнений (16) и полным интегралом уравнения (1). Область существования этого интеграла, вообще говоря, оказывается больше, чем ожидалось по предположениям.
П р и мер 1. pq — г.
В п. 9.2 (в) были найдены первые интегралы и — у, v — х, ^. Если
положить о = и — у, то уравнения (15) приобретают в этом случае следующий вид:
av — г, и — у = Ь,
т. е. надо решить систему (см. (16))
дг , , дг г = y-f-6,
9.51 § 9. МЕТОД ЛАГРАНЖА 97
7 Э. Камке
которые, однако, не находятся в инволюции. Если написать, несмотря на это, уравнения (13):
pq = x + y + z, p — q + x — y = 2a, p + l = b (q+l), то получим:
(6 — l)p=b(y — x)+2ab — 6 + 1, (6 — l)tf = y — x + 2a— 6 + 1. (*)
Так как p — zx, q = zy, то должно быть py = qx\ это условие, примененное к уравнениям (*), показывает, что b = — 1. Для этого значения имеем: 2гл. = у —лг + 2в —2, 2zy = х — у — 2а — 2,
следовательно,
* = -(*~У)2 +д(*-у)-(* + у) + 1-д«.
Тем самым найдено однопараметрическое семейство интегралов заданного уравнения.
9.5. Получение частных интегралов из полного интеграла.
(а) Пусть
? = ф(лг, у; а, Ь) (17)
— полный интеграл дифференциального уравнения (1) в окрестности1) точки (лг0, у0, а0, bf). Метод, которым из него можно образовать специальные интегралы, геометрически сводится к конструированию огибающей поверхности ко всему множеству или к некоторому подмножеству интегральных поверхностей, входящих в полный интеграл." Аналитически этот метод реализуется вариацией постоянных.
Если
а = а(х, у), д = р(лг. у) (18)
— непрерывно дифференцируемые функции, то из (17) после частного дифференцирования следует:
Zx = Ф* + Ф А + №х• zy ~ Фу + Фа°у + ФйРу •
и если
ФАг + ФАг = °. ФвИу + ФЛ^0- О9)
то эти две функции (18), будучи подставлены в (17), дают интеграл дифференциального уравнения (1).
(б) Уравнения (19) удовлетворяются тривиальным образом, если фа = фй = 0. Если же эти уравнения тождественно удовлетворяются по х, у, то получают особую интегральную поверхность как огибающую совокупности интегральных поверхностей. Впрочем, для получения этих интегральных поверхностей есть прямой метод (см. п. 8.8(6)), в общем, более удобный.
