Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Камке Э. -> "Справочник по дифференциальным уравнениям в частных производных первого порядка" -> 33

Справочник по дифференциальным уравнениям в частных производных первого порядка - Камке Э.

Камке Э. Справочник по дифференциальным уравнениям в частных производных первого порядка: Справочник. Под редакцией Н.X. Розова — М.: «Наука», 1966. — 258 c.
Скачать (прямая ссылка): kamke_es_srav_po_du.djvu
Предыдущая << 1 .. 27 28 29 30 31 32 < 33 > 34 35 36 37 38 39 .. 82 >> Следующая


(г) p2 + q2 + x2 + y2 = 0. Характеристические уравнения таковы:

х'=2р, y'=2q, z' = 2p2 + 2q2, р' = — 2х, = —2у.

Из них следует соотношение хх' -\- у у' -f- рр' -\- qq' = 0, или х2 -f- у2 -4-+ Р2 + 92 — 0' т- е- х = У = Р = Ч — 0- Из третьего характеристического уравнения находим: z = С при любом С. Поэтому особыми плоскостными элементами будут:

л: = 0, у = 0, z=C, р = 0, 9 = 0.

"88 ГЛ. II. НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ [8.7

-Одновременно это и единственные интегральные элементы. Следовательно, как непосредственно видно из дифференциального уравнения, интегральной поверхности не существует.

8.7. Интегральные полосы и интегральные поверхности. Плоскостной элемент х, у, z, р, q называется интегральным элементом дифференциального уравнения (1), если F(x, у, z, р, q) = 0. Полоса (4), (5) называется интегральной полосой, если она состоит только из интегральных элементов.

(а) Функция F(x, у, z, р, q) постоянна вдоль каждой характеристической полосы дифференциального уравнения (1), т. е.

F(x((), у (О, z(t). p(t), q(t)) = const;

поэтому характеристическая полоса является интегральной полосой, •если она содержит хотя бы один интегральный элемент.

Для разрешенных относительно производной дифференциальных уравнений (7) каждая характеристическая полоса всегда является интегральной полосой: в этом случае справедливо уравнение (9).

(б) Если функция z = ty(x, у) в области у) является дважды ¦непрерывно дифференцируемым интегралом дифференциального уравнения (1) и если

*о. Ус Ф(*о. Уо)- «М*о- Уо). ФуОо- Уо) (I8)

— любой плоскостной элемент этой интегральной поверхности, то любая характеристическая полоса1) уравнения (1), которая содержит -этот плоскостной элемент, принадлежит поверхности z — ф (х, у), коль скоро две первые координаты х, у этой полосы являются точками области ©2).

Следовательно, дважды непрерывно дифференцируемые интегральные поверхности могут быть построены из характеристических полос.

(в) Если z—ty(x, у) и z — %(x, у) — две дважды непрерывно дифференцируемые в области у) интегральные поверхности уравнения (1) с одним общим плоскостным элементом (18), то все характеристические полосы уравнения (1), которые содержат этот плоскостной элемент, одновременно принадлежат обеим интегральным поверхностям, если-только (x(t), у (О) — точки области ©.

Если этот общий плоскостной элемент-—обыкновенный, то обе интегральные поверхности, в силу п. 8.6, имеют общую кривую, не вырождающуюся в точку.

') Если функция f дважды непрерывно дифференцируема или же -благодаря каким-либо условиям гарантирована однозначная разрешимость характеристических уравнений (6) при заданных начальных условиях, то -существует лишь единственная полоса такого рода.

2) Относительно ослабления условий о дифференцируемое™ см. A. Haar, Acta Szeged 4 (1928); 103—114; Т. Wazewski, Annates Soc. Polon. Math. 13 (1934), 10—12; Math. Zeitschrift 43 (1938), 521—532.

8.8] § 8. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ, ОБОЗНАЧЕНИЯ И ТЕРМИНОЛОГИЯ 8&

8.8. Частный, особый, полный и общий интегралы.

(а) Частный интеграл уравнения (1) — не что иное, как некоторый интеграл дифференциального уравнения, т. е. какая-то функция z~ty(x, у), удовлетворяющая уравнению (1). Поэтому термин «частный интеграл» означает, как правило, то же, что и просто-«интеграл».

(б) Интеграл дифференциального уравнения (1) г = ф(х, у) называется особым, если он содержит только особые интегральные элементы (ср. с пп. 8.6, 8.7), т. е. когда три уравнения

F(x, у, z, p. д)==0. Fp = 0, /^ = 0 (19>

одновременно справедливы для

2 = 4'. Р — Ф*. q = фг (20)

Если подставить (20) в (19), то после частного дифференцирования получается, что для дважды непрерывно дифференцируемых особых интегралов имеют место соотношения

F* + PF, = Q. Fy + qFz = 0. (21)

Интеграл, который не содержит особых интегральных элементов, может вполне называться обыкновенным. Произвольный интеграл может, естественно, содержать как обыкновенные, так и особые плоскостные элементы.

Особые интегралы данного дифференциального уравнения (1) получаются, когда из уравнений (19) или (в случае, если ищут дважды непрерывно дифференцируемую интегральную поверхность) из (19) и (21) определяют все интегральные элементы х, у, z, р, q и исследуют, можно ли из них составить непрерывно дифференцируемые поверхности г = ф(х, у).

Пример, рд = г.

Особые плоскостные элементы получаются из соотношений

z = pq, 9 = 0, р = 0;

следовательно, z = р = q = 0 при любом х, у, н эти элементы объединяются в особую интегральную поверхность z = 0.

(в) Полный интеграл дифференциального уравнения (1) есть дву-параметрическое семейство интегралов

z = ty(x, у, а, Ь), (22)

причем функция ф вместе с ф^, фу в некоторой области пространства х, у, a, b должна быть непрерывно дифференцируема по всем

90 ГЛ. II. НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ [9.1

четырем аргументам, а функциональная матрица

д рф, -ily, Фу) д (а, Ь)

в каждой точке этой области должна иметь ранг 2').
Предыдущая << 1 .. 27 28 29 30 31 32 < 33 > 34 35 36 37 38 39 .. 82 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed