Справочник по дифференциальным уравнениям в частных производных первого порядка - Камке Э.
Скачать (прямая ссылка):
Роль полного интеграла, который, впрочем, определяется дифференциальным уравнением отнюдь не однозначно, основана на том, что из него одним только процессом дифференцирования и исключения можно вывести все интегралы уравнения. Говоря грубо, полный интеграл приблизительно соответствует интегральному базису линейного однородного дифференциального уравнения (см. п. 3.4).
(г) Общим интегралом называется интеграл уравнения (1), который зависит от одной произвольной функции. При этом зависимость понимается так, что в (в) входит Ъ — ф (а) с произвольной функцией ф. Отметим, что более подходящим было бы требование, чтобы интеграл зависел от произвольной данной начальной полосы.
§ 9. Метод Лагранжа
9.1. Первые интегралы. Пусть задано квазилинейное уравнение f(x, у, z)p-\-g(x, у, z)q = h(x, у, z); (*)
если и) = ф(х, у, z)— интеграл соответствующего однородного уравнения
f(x, У, z)-S]r\-g(x, у, z)-gj-\-h(x. у, г)-^- = 0, (**)
то, согласно п. 5.4, интеграл уравнения (*) можно получить, разрешая уравнение ф = С относительно z. При этом интегралы ф уравнения (**) являются непрерывно дифференцируемыми функциями, постоянными вдоль каждой характеристики уравнения (**), или, что то же самое, вдоль каждой характеристики уравнения (*). Метод Лагранжа2) для уравнения
F(x, у, г\ р, q) = 0 (1)
состоит в реализации аналогичного подхода для дифференциального уравнения (1).
(а) О функциях F(x, у, z, и, v), G(x, у, z, и, v), Н (х, у, z, и, v), которые встречаются ниже, будем предполагать, что все они непрерывно дифференцируемы в области ®(х, у, z, и, v).
') Также еще требуется, чтобы через х, у, -ф, -ф^-, -фу доставлялись сразу все интегральные элементы уравнения (1). Однако это требование, пожалуй, нигде последовательно не проводится. Благодаря ему практическая полезность полных интегралов становилась бы излишне осложненной.
2) [Этот метод иногда называют методом Лагранжа ?— Шарпи; см. Степанов, стр. 381—392. — Прим. ред.]
9.11 § 9. МЕТОД ЛАГРАНЖА 91
x'(t) = Fu, y'(t) = Fv, z'(t) = uFa + vFv, и' (t)= — Fx—uFz, v'(t) = — Fy— vFz.
1
(2)
Согласно п. 3.2, это означает, что функция G является интегралом линейного однородного дифференциального уравнения
„ dw , с. до> . , „ , „ , dw F«-dx-+F* l^+^u + vrj~dz ~
- (Fx + uFz) % - (Fy + vFz) ^ = 0. (3)
Подставляя в (>3) интеграл G, мы приходим к соотношению
[^(лг, у, z, и, V), G(x, у, z, и, v)] = 0 в G; (4)
выражение
[F, G] = — [О, F] = (Fx + uFz)Gu +
+ (Fy + vFz) Gv - (Gx + uGz) Fu - (Gy + vGz) Fv (5)
носит название скобок Якоби. О функциях F и G, удовлетворяющих соотношению (4), говорят также, что они находятся в инволюции друг к другу.
В силу п. 8.7 (а), функция F(x, у, z, и, v)— очевидный первый интеграл уравнения (I)1)- Для получения остальных его первых интегралов надо решить линейное однородное дифференциальное уравнение (3) (см. § 3).
(б) Для дальнейшего оказывается очень полезно ввести еще одно понятие интеграла дифференциального уравнения (1). Функция G(x, у, z, и, v) будет называться специальным первым интегралом2) уравнения (1), если она постоянна вдоль каждой характеристической интегральной полосы уравнения' (1). Функция G тогда и только тогда является специальным первым интегралом уравнения (1), когда соотношение (4) выполняется для каждого интегрального элемента лг, у, z, и, v этого уравнения.
П р и м е p. (хр + yg - zy = (р*-f g*) f (х*-f у2). Характеристические уравнения таковы:
х' = 2х(хр + yq-z)-2pf,
y' = 2y(xp + yq-z)-2qf,
z' = 2(xp + yg)(xp + yg-z)-2(p* + q*)f,
P' = 2x(p2 + g2)f, g' = 2y(p2 + g2)f.
') Это, впрочем, видно и непосредственво из уравнения (3), решением которого является w = F.
г) [В подлиннике — Vorintegral 1m weiteren Slnne. — Прим. ped.]
Функция G(x, у, z, и, v) называется первым интегралом уравнения (1), если она постоянна вдоль каждой характеристики уравнения (1), т. е. вдоль каждого решения x(t), y(t), z(t), u(t), v(t) характеристической системы дифференциальных уравнений (см. п. 8.4)
¦92 ГЛ. II. НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ |9.2
УР — xq
2(xp + yq — z). (*)
•Ограничиваясь только характеристическими интегральными полосами, можно привлечь к преобразованию характеристических уравнении еще и исходное дифференциальное уравнение. Именно, исходное уравнение и третье характеристическое уравнение дают соотношение
z' = 2z(xp + yq — z). . Таким образом, уравнение (*) принимает вид (ур — хд)' = г' ур — хд г '
¦откуда видно, что In | ур — xq \ — 1п|гг| или, что то же самое,
УР — хд z
— специальный первый интеграл (поскольку для его образования было использовано само дифференциальное уравнение).
(в) Если функция О является специальным первым интегралом дифференциального уравнения (1) и если p=U (х, у, z), q—V(x, у, z) в области © (лг, у, z) — общее непрерывно дифференцируемое решение одновременно обоих уравнений F — 0 и О — 0, то
[F, О]==0 в ©,
¦если скобка Якоби вычислена для p = U, g = V. Если О и Н—специальные первые интегралы дифференциального уравнения (1) и если ¦функции г = ф(лг, у), p=U(x, у), q—V(x, у) являются общими решениями в области ©(лг, у) одновременно трех уравнений F—0, 0=0, И=0, то
