Справочник по дифференциальным уравнениям в частных производных первого порядка - Камке Э.
Скачать (прямая ссылка):
(Фжу — Хху) Fp + (Фуу - ХУУ) Fg = 0 J
с подставленными сюда функциями (4). С другой стороны, мы имеем:
z(t) = $(x(t), У (О).
p(t) = qx(x(t), у (О), (О =*,(*(').
и аналогичные уравнения остаются справедливыми для х вместо ф.. Отсюда следует после дифференцирования условие полосы
z' = px'-\-qy', (13>
также еще четыре соотношения: два для ф
Р'+ /=-Фу^'4-фууУ' (И)
и остальные два с х вместо гр. Из этих четырех уравнений следует: (%х — у.хх) *' + (ф^у — %xv) у' = 0.
(Фу* — Хулг) Х'~\- Сфуу — Хуу) У' = 0.
Так как ни в какой части интервала (а, р) все скобки^0 и так как tyxV = tyyx, Хл-у = Xyjf. то сравнение этих уравнений с уравнениями (11) дает
y'Fp-x'F^O.
Если -f- |у'|> 0, то выбором надлежащего переменного можж> достичь того, чтобы были удовлетворены оба первых уравнения (6). Но тогда, в силу (13), удовлетворится также и 3-е уравнение системы (6). Наконец, уравнения (10) после подстановки функций (4) дадут соотношения
p'{t) = 4t y(t)) = -fx—pf„
9,W = -5-*y(*W. У (О) =
а это — два последних уравнения системы (6).
(б) Пусть z — ty(x, у) — дважды непрерывно дифференцируемая интегральная поверхность дифференциального уравнения (1); пусть-(4) — плоскостные элементы, принадлежащие этой интегральной поверхности. Если в уравнение (1) поставить 2 = ф, то получаются, как и в (а), соотношения (10) и (12) — (14). Подставим теперь в (10).
86 ГЛ. II. НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ [8.5
функции (4), а потом уравнения (14) прибавим к соответствующим уравнениям (10); тогда получим:
p'+Fx+pFz=^xx(x'-Fp)-\-^xil(y' — Fq),
(15)
у. I
Я' + Fy + qFz = фул. (х' — Fp) -+- фуу (/ —
Уравнения (13) и (15) справедливы для каждой полосы, принадлежащей интегральной поверхности. Оба уравнения (15) существенно упрощаются, когда полоса выбирается так, что
x' = Fp, y' = Fq,
т. е. когда получаются как раз характеристические уравнения (6).
(в) Пусть дана пространственная кривая х — х({), y = y(t), z = z (t). Возникает вопрос, когда она единственным образом может быть дополнена до такой однопараметрической совокупности плоскостных элементов (4), каждый из которой удовлетворяет уравнению (1)? Это как раз тот случай, когда p(t), q(t) могут быть выбраны 'единственным образом такими непрерывно дифференцируемыми функциями, что выполняется условие полосы
px'-\-qy'—z' — 0
и удовлетворяется уравнение
F(x, у, z, р, q) = 0.
Если числа Ро~Р(^0), <7о= <7(^о) удовлетворяют обоим только что написанным уравнениям, то, в силу теоремы о неявных функциях, существуют (в некоторой окрестности значения t0) непрерывные функции p(t), q(t), удовлетворяющие обоим этим уравнениям, если только функциональный определитель
х' у' F„ F„
Ф 0. (16)
Обратно, если это условие не выполнено, то
х' у'
= 0 (17)
для некоторой полосы (4); если, кроме того, \Fp\ -4- \F \ > 0 или J х' I +1 У' I > 0. то ПРИ надлежащем выборе параметра t
x' = Fp, y' = Fq.
Следовательно, условие, противоположное неравенству (16), приводит непосредственно к первым двум из характеристических уравнений (6). Третье из уравнений (6) является не чем иным, как условием полосы. Оба последних уравнения получают, как в п. 8.4.
8.61 § 8. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ. ОБОЗНАЧЕНИЯ И ТЕРМИНОЛОГИЯ 87
8.6.. Обыкновенные и особые плоскостные элементы. Плоскостной элемент х0, у0, z0, р0, q0 называется обыкновенным (регулярным, правильным) или особым (нерегулярным) для дифференциального уравнения (1), смотря по тому, будет ли \Fp\-\-\Fq\>0 или \Fp\-\-\Fg\ = 0 в точке (х0, у0, z0, р0, q0).
Для каждой характеристической полосы, содержащей по крайней мере один обыкновенный плоскостной элемент, ни кривая-носитель, ни ее проекция на плоскость х, у не состоят только из одной точки. Если характеристическая полоса содержит особый плоскостной элемент., то она может иметь различные свойства, как показывают приводимые примеры.
В следующих примерах 0, 0, 0, 0, 0 — особый плоскостной элемент; исследуется характеристическая полоса, которая проходит через него при * = 0.
(а) Р* + Ч*=*х + у. Характеристические уравнения таковы:
х'=2р, у'= 2q, z' = 2p2 + 2q2, р' = 1, ?'=1.
Из двух последних уравнений следует p — q=t, после чего из двух первых находим х = у = t2. Кривая-носитель состоит, следовательно, не только из одной точки.
(б) (P+l)x + (q + l)y = z.
Характеристические уравнения таковы:
х'=х, у' = у, z'=xp + yq, р'=—1, q' = — \.
Из двух первых уравнений следует х = у = 0, после чего из третьего находим z = 0; в то же время оба последних уравнения дают p — q — —t. Кривая-носитель состоит здесь только из одной точки, но ей соответствует бесконечно много направляющих коэффициентов.
(в) p2 + q2 — xp — yq + z = 0. Характеристические уравнения таковы:
х' = 2р — х, у'= 2q — у, z' = 2р2+ 2q2 ~ хр — yq, />'=0, <?'=t).
Из двух последних уравнений следует р = q = 0, после чего из трех первых находим х = у = г = 0. Характеристическая полоса состоит из единственного плоскостного элемента.
