Справочник по дифференциальным уравнениям в частных производных первого порядка - Камке Э.
Скачать (прямая ссылка):
x = x(t, х0, .... gQ).....g=g(t, х0, .... д0).
В качестве упомянутых начальных значений выбираются элементы данной интегральной полосы (6), т. е. строятся функции
X(s, t) = x(t. x0(s).....g0(s)).....Q(s,f) =
= g(t, x0(s).....g0(s))-
Эти функции в области их существования дают исключительно интегральные элементы дифференциального уравнения (1). Благодаря условию (7), уравнения
х = X (s, t), у — К (s, t)
') [См. Курант, стр.88—91; Степанов, стр.393—406. — Прим. ред.]
2) Можно также исходить" из некоторой непрерывно дифференцируемой пространственной кривой х — х0 (s), у = у0 (s), z = z0 (s) и — коль скоро это выполнено — так добавить непрерывно дифференцируемые функции р0 (s), q0 (s), чтобы функции (6) удовлетворяли условию полосы и уравнению (1).
3) Относительно геометрической интерпретации (7) см. 10.1. Из неравенства (7) следует, что начальная полоса (6) содержит лишь регулярные плоскостные элементы.
4) Существует ли только один интеграл — зависит от вида области.
104 ГЛ. II. НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ |ЮЗ
') [См. п. 2.6(6) и примечание ') на стр. 23. — прим. ред.]
в каждом подынтервале a<a0^s^B0<6 могут быть однозначно разрешены относительно s, t для всех достаточно малых t; получаем две функции s—s(x, у), t = t(x, у). Подставляя эти две функции в соотношение z — Z(s, t), мы получим искомый интеграл дифференциального уравнения (1).
Пример, pq = 1.
Пусть для этого дифференциального уравнения задана начальная интегральная полоса
x = s, у — s3, z = 2s2, р= s, q = -j (s > 0). Из характеристических уравнений
x'V) = q, у'(') = />- z'(t)=2pq, />'(*) =0, /(0-0
беа труда определяется характеристика с начальным значением х0.....q&
при t = 0:
x = xa + q4, у = Уо-г-М * = 2p0q(tt + z0, р = рй, q = qo-После подстановки уравнений начальной полосы получаем:
ле = Y + s. y=»s<4-s3, z = 2t-{-2s2, p — s, q = ~.
Из второго и третьего уравнений получаем соотношение z = 2—, а из двух
первых уравнений следует, что у = xs2. Таким образом, искомым интегралом будет:
г = 2 Vxy для х > 0, у > 0.
10.3. Частный случай: p=f(x, у, г, q). Если дано дифференциальное уравнение, разрешенное относительно одной из производных:
Р = /(х, у, z, q) (8)
и для него ищется интегральная поверхность, которая проходит через данную кривую, лежащую в плоскости, параллельной плоскости у, zl), то при надлежащих предположениях можно дагь оценку области определения интеграла, (а) Пусть в области
\х — 1\<а, у, z, q — любые, (9>
функция f (х, у, z, q) дважды непрерывно дифференцируема. Далее, пусть ее частные производные не превосходят по абсолютной величине числа Л(Л>1). Пусть, наконец, функция to(Tj) определена для всех г), дважды непрерывно дифференцируема и удовлетворяет неравенству
I«' 01) 1 + 1 о" 01) К В.
10.3|
§ 10. НЕКОТОРЫЕ ДРУГИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ
105
Тогда дифференциальное уравнение (8) имеет ровно одну интегральную поверхность г = ф(лг, у), содержащую начальную кривую
х = \, у=т], z = a (т)), — оо < т] < -f- оо.
Эта поверхность существует по крайней мере в области
\х — S|<min(g, ЗЛ(д+1)). — oo<y<-foo,
и там дважды непрерывно дифференцируема.
Эту интегральную поверхность получают методом характеристик Коши. Определяем для характеристических уравнений
/(*) = — /,. Z'(x) = f—qfq, q'(x) = fy+qfz (10)
интегральные кривые
у = К(х, т)), z = Z(x, tj), q = Q(x, tj), (11)
проходящие через начальные точки (лг = |, у = т), z = (o(tj), ^ = (о'(т))), и разрешаем первое из уравнений (11) относительно tj: получаем функцию tj=xO, у). Тогда z = Z(x, %(х, у)) — искомый интеграл; следовательно, иными словами, оба первых уравнения (11) дают этот интеграл в параметрическом представлении1).
(б) Если функция / задана не в области (9), а в какой-нибудь конечной области, то удается доказать аналогичную теорему ¦существования в случае, когда область определения функции / можно так продолжить до области вида (9), чтобы там были выполнены предположения теоремы (а)2).
(в) Во многих случаях методом, изложенным в (а), получают интеграл даже в более широкой области, несмотря на то, что довольно сильные ограничения относительно производных функций / и <о иногда не выполнены.
П р и м е р 1. р = д2; а (г|) = г|2. Из характеристических уравнений
у'=-2?, г'=-д\ в' = 0
') Камке, D. Glen, стр. 352—358; там предполагается еще, что | /1 < а; это предположение не является необходимым, поскольку функция / оценивается по теореме о среднем через производные.
Другие результаты относительно области существования интеграла см. Т. Wazewskl, Annates Soc. Polon Math. 13 (1934), стр. 1—9; 14 (1935), •стр. 149—177. По поводу предположений о дифференцируемости функций / и м см. там же: 13 (1934), стр. 10—12; Math. Zeitschrift 43 (1938), •стр. 521—532. Относительно однозначности интеграла см. А. Н а а г, Acta Szeged 4 (1928), стр. 103—114. Исторические замечания содержатся у Serret-Scheffers, Differential- und Integralrechnung III, S. 719 f.