Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Камке Э. -> "Справочник по дифференциальным уравнениям в частных производных первого порядка" -> 38

Справочник по дифференциальным уравнениям в частных производных первого порядка - Камке Э.

Камке Э. Справочник по дифференциальным уравнениям в частных производных первого порядка: Справочник. Под редакцией Н.X. Розова — М.: «Наука», 1966. — 258 c.
Скачать (прямая ссылка): kamke_es_srav_po_du.djvu
Предыдущая << 1 .. 32 33 34 35 36 37 < 38 > 39 40 41 42 43 44 .. 82 >> Следующая


') См. E. О о u г s a t, Lecons sur I'integration des equations aux derivees partielles du premier ordre, Paris, 1921, стр. 20.

Ищется интегральная поверхность, которая содержит начальную кривую

Jf = S, У = т|, 2 = g>(tj), — оо < ц < +оо, и, следовательно, (см. примечание ') на стр. 99) начальную полосу

•*=?. У = ч, -г = о)(т]), /7 = -^12_, ? = о>'(г|),

причем предполагается, что &' (rj) Ф 0.

Если поставить А, В вместо а, Р, то уравнения (27) примут вид

и, следовательно,

""'W-^i-i^ <**>

а уравнение (26) переписывается так:

(т]<а" — о') [arj2 (х2 — g2) — (у2 — rj2) ю'2 ] = 0. (***)

Если Tj<»" — о' 0, то нужно определить т] как функцию от х, у: ат]2(х2 — ?2) = (у2— т]2)»'2,

и подставить в соотношения (**) и (*). Так, например, для <»(rj) = rj получают:

¦г = уУа(л:2-^) + 1.

Если же rjco" — о' = 0, то о> = at]2 -|- Р с произвольными константами а, р. Дифференциальные уравнения (***) здесь не могут служить для определения rj = rj (jf, у), но теперь из (**) получают:

и, таким образом, искомым интегралом, как подтверждает проверка, служит функция

* = ^(-*2-&2)+«У2 + Р-

§ 10. Некоторые другие методы решения

10.1. Нормальная задача Коши1). Под задачей Коши для дифференциального уравнения

F(x, у, г, р, g) = 0 . (1)

понимают задачу нахождения интегральной поверхности z = ty(x, у), содержащей данную интегральную полосу

* = «>i(s). y = ®2(s). z = a3(s), p = <o4(s), q = a5(s). (2)

102 ГЛ. II. НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ [10.1

') Если o)j (s0) ф 0, а о>2 (s0) = 0, то следует поступать аналогичным образом.

2) Под нормальной задачей понимается начальная задача, которая включает в себя дифференциальное уравнение в явной форме р — f (х, у, г, q) и некоторое начальное условие х — |, у = т], z (|, ¦»)) = о (¦>]) при фиксированное \ и переменном т) , или же q = / (х, у, z, р) и Jt = |, у = ц, z (|, т|) = = <>>(?) при фиксированном т] и переменном ?.

Здесь <ov (s) — непрерывно дифференцируемые при а < s < р функции. О функции F снова делаются предположения, уже сформулированные в п. 8.1. Далее, пусть

FP(S.....<°о)а2 - Ря(«1.....«б)«>,' Ф 0. (3)

это неравенство означает, что если кривая-носитель полосы (2) и кривая-носитель характеристической полосы § 8, (6) проектируется на плоскость х, у, то проекция первой не должна касаться проекции второй. Наконец, условимся обозначать интегральный элемент, определяемый полосой (2) для s = s0, через х0, у0, zQ, р0, q0.

Из условия (3) следует, в частности, что полоса (2) содержит только правильные интегральные элементы (см. п. 8.6) и | toj | -+_-1 &'21>0. В случае, если a^s) ф о1), это неравенство справедливо также и

в окрестности этой точки; в этом случае можно преобразовать задачу Коши (1), (2) в «нормальную задачу Коши» специального вида2):

p = f(x, у, z, q), х — 0, у = т), z(0, у) = 0. (4)

Для выполнения этого преобразования уравнение tj = ioj(s) разрешают относительно s и выбирают т) в качестве независимого переменного. Тогда начальные условия (2) переписываются в виде

х = р(т)). у = г|. г = о(т]). р = т(т]), q = io(r\). (5)

Если теперь подвергнуть непрерывно дифференцируемую функцию z(x, у) преобразованию

Z(X, Y)=z(x, у) — о (у). Х = х — р(у), К = у,

то из дифференциального уравнения (1) получится уравнение

F(X + p{Y), К, Z + o(K). Zx. Zr-Zxp'{Y) + a'(Y)) = 0

для Z, которое, благодаря условию (3), можно разрешить относительно Zx. При этом получится первое из уравнений (4) с большими буквами вместо маленьких. Из трех первых уравнений (5) получаются последние три уравнения (4); последнее уравнение (5) переходит в уравнение Zy (0, К) = 0, вытекающее из последнего уравнения (4); предпоследнее уравнение (5) представляет собой следствие первого уравнения (4).

10.2| § 10. НЕКОТОРЫЕ ДРУГИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ 103

10.2. Общая теорема существования. Метод характеристик Коши1). В § 9 были уже изложены некоторые методы, с помощью которых в ряде случаев можно решить данное дифференциальное уравнение (1). Однако там ничего не сказано о том, при каких общих условиях интеграл данного уравнения существует.

Следующая теорема существования относится к задаче Коши.

Пусть левая часть F(x, у, z, р, д) уравнения (1)—дважды непрерывно дифференцируема в области ©(х, у, z, р, д). Пусть при «<s<6

x = x0(s), y = y0(s), z = z0(s), p=zp0(s), g = g0(s) (6)

— интегральная полоса дифференциального уравнения (I)2), для которой

причем в Fp и Fg подставлены функции (б)3). Тогда задача отыскания интегральной поверхности уравнения (1), содержащей полосу (6), разрешима «в малом»; более того, полученный интеграл даже дважды непрерывно дифференцируем 4).

Получить этот интеграл — решение задачи Коши — можно следующим путем: поскольку функция F дважды непрерывно дифференцируема, то правые части характеристической системы § 8, (6) непрерывно дифференцируемы; следовательно, ее решение однозначно определено некоторыми начальными значениями х0, у0, z0, Ро> Чо ПРИ t — О. Пусть этими решениями будут:
Предыдущая << 1 .. 32 33 34 35 36 37 < 38 > 39 40 41 42 43 44 .. 82 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed