Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Камке Э. -> "Справочник по дифференциальным уравнениям в частных производных первого порядка" -> 41

Справочник по дифференциальным уравнениям в частных производных первого порядка - Камке Э.

Камке Э. Справочник по дифференциальным уравнениям в частных производных первого порядка: Справочник. Под редакцией Н.X. Розова — М.: «Наука», 1966. — 258 c.
Скачать (прямая ссылка): kamke_es_srav_po_du.djvu
Предыдущая << 1 .. 35 36 37 38 39 40 < 41 > 42 43 44 45 46 47 .. 82 >> Следующая


*(0. У)=^(У). "р>°. -^Ж>° (ге = 0' Ь 2. ...).

В частности, для специального вида функций

Abv

') Выполняются также равенства

~ду"~ 2j ду" ' ду" дх = 2j ду" дх '

р р

стоящие в их правых частях ряды сходятся также равномерно.

Продолжая таким образом, мы получим формальное решение (14).

Этот метод приводит к истинному решению, т. е. ряд (14) равномерно сходится1) в области

0<л-<а„ 0<у<й (18)

и удовлетворяет там уравнению (13), если выполняются следующие условия:

(а) функции fluv(x, у), F^yix, у) непрерывны в области (18),

имеют там непрерывные частные производные любого порядка по у, причем для них выполнены неравенства

dnfu, v I d"fu, v

* '<-я?^ («-0,1,2,...);

ПО ГЛ. II. НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ [10.6

У/ц. у I (» + А(» + п\ ду" v /\ п )

Ап\Ьх

"Ы)

то описанный выше метод дает при ю(у) = 0 интеграл (14), обращающийся в нуль при х = 0 и существующий в области

0<х<а(у). а(у)= minja,-^-(l —I)2}; 0<y<?.

Упомянутые выше предположения выполняются, в частности, если для коэффициентов / v существует разложение

00 ь

й=0

Пример, р = 92; г (0, у) = Л Если искать интеграл г в виде

г = ^ (У) *v; «о = «у.

v=0

то получается ряд

здесь

*=2cv*v<?(v+I)y; <19>

v=0

_ 1 О 16 50

Со — Ci— 1, С2 — А с3 — "з^* Са~~3~.....

(v+1)cv+1 + 1= 2 (л+1)(5+1)СЛ.

r+s = v

Ряд (19) сходится по крайней мере для I хеу | < 4~-

о

10.6. Методы решения.

(а) Если никаких начальных условий не дано, то для отыскания интегралов уравнения (1) можно применить метод Лагранжа, который состоит в том, чтобы попытаться получить нетривиальный первый интеграл (см. п. 9.1) и действовать дальше, согласно п. 9.3, или, если удается получить два таких первых интеграла, согласно п. 9.2. На этом пути можно получить даже полный интеграл. Для уравнений специальных видов можно использовать методы, излагаемые в § 11.

получаем: если коэффициенты v(x, у) непрерывны и области (18), имеют там непрерывные частные производные любого порядка по у и если, кроме того, для с > О и А > О справедливо неравенство

11.21 § 11. РЕШЕНИЕ ЧАСТНЫХ ВИДОВ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИИ Ш

(б) Если требуется найти поверхность, проходящую через данную начальную кривую или через данную начальную полосу, то поступают следующим образом:

(а) если известен полный интеграл, то действуют согласно п. 9.6; ф) можно использовать метод п. 10.2; при известных условиях

можно ограничиться приближенным решением характеристических уравнений и получить искомую интегральную поверхность приближенно;

(у) особые интегралы находятся в соответствии с п. 8.8 (б);

(б) приближенное решение может быть найдено также использованием развитого в пп. 10.4, 10.5 метода разложения в ряды.

§ П. Решение частных видов нелинейных уравнений с двумя независимыми переменными

11.1. F (х, у, z, р) = 0 и F(x, у, z, — 0. С первым уравнением можно обращаться как с обыкновенным дифференциальным уравнением1) с независимой переменной х и параметром у. Вместо постоянной интегрирования в этом случае в ответе появится произвольная непрерывно дифференцируемая функция от у. Второе уравнение рассматривается аналогично.

11.2. F(p, q) = 0. Для каждой пары чисел а, Ь, которые удовлетворяют уравнению F (а, Ь) = 0, плоскость

z = ах -\- by + с

при любом с является интегралом. Если функция F дважды непрерывно дифференцируема в окрестности точки р = а0, q = b0 и если, кроме того, \Fp\ -4- \Fq\ > 0, то эти плоскости для всех значений а, Ь, лежащих достаточно близко к точке (с0, Ь0), составляют полный интеграл рассматриваемого дифференциального уравнения. Из характеристических уравнений

x'(t) = Fp. y'(t) = Fq, z'(t)=,pFp + qFg, р'(*) = 0. q'(t) = 0

находим характеристику, проходящую при ? = 0 через плоскостной элемент х0, у0, z0, а, Ь:

р = а, q = b,

х — х0= Fp(a, b)t, у — у0 = Fq(с, b)t,

z — z0 = (aFp+bFq)t.

Если \Fp(a, b)\ ~\- \Fq(a, b)\ > 0, то эта характеристика — прямая

(1)

') [Не разрешенным относительно производной; см., например, Степанов, стр. 104—139. — Прим. ред.]

112 ГЛ. II. НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ [11-3

Таким образом, регулярными интегральными поверхностями являются все непрерывно дифференцируемые поверхности z = ty(x, у), которые могут быть построены из таких прямых (1), причем выполнено дополнительное условие F(а, Ь) = 0. Эти интегральные поверхности — развертывающиеся поверхности. Если ограничиться дважды непрерывно дифференцируемыми интегральными поверхностями, то мы не получим никаких других регулярных поверхностей.

Наконец, надо еще исследовать, имеются ли особые интегральные поверхности, содержащие отдельные особые элементы.

11.3. F(z, р, д) = 0. Для произвольных а, Ь, \a\-\-\Ь\ > О, сделаем подстановку:

Тогда р = а?,' (?), q — bl,' (?), и, таким образом, из дифференциального уравнения с частными производными получается обыкновенное дифференциальное уравнение
Предыдущая << 1 .. 35 36 37 38 39 40 < 41 > 42 43 44 45 46 47 .. 82 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed