Справочник по дифференциальным уравнениям в частных производных первого порядка - Камке Э.
Скачать (прямая ссылка):
[F, G] = 0 и [F, Н] = 0 в ©,
¦если скобки Якоби вычислены для z = ф, р= U, g = V.
Таким образом, решать дифференциальные уравнения (1) можно по-разному, в зависимости от того, два или только один специальный первый интеграл удается разыскать (кроме очевидного первого интеграла F).
9.2. Случай двух неочевидных первых интегралов. Если, кроме очевидного первого интеграла F дифференциального уравнения (1), известны еще два специальных первых интеграла О и Н, то, со-
Из двух первых уравнении следует:
У'Р — x'q = 2 (ур — xq) (хр + yq — z), я из двух последних —
ур' — xq' == 0. Складывая эти два уравнения, получаем: (УР — xq)'
9.2]
§ 9. МЕТОД ЛАГРАНЖА
93
гласно методу, намеченному в п. 9.1, мы будем поступать следующим образом. Разрешим уравнения
^(лг, у, z, и, г>) = 0, 0(лг, у, z, и, г/) = 0, \
Н(х, у, z, и, v) = 0 | ^
относительно z, и, v. Если при этом получаются непрерывные функции и — и(лг, у), v — v(x, у) и. непрерывно дифференцируемая функция z = z(x, у), то проверим, будет ли zx = u, zy = v. Если это так, то функция z (х, у), очевидно, является, решением уравнения (1.; и, более того, — общим решением трех уравнений
F{x, у, z, р, q) = 0, G(x, у, z. p. q) = 0, 1
H(x, у, z, р, <7) = 0. ] (7)
(а) Два уравнения вида (1) не всегда имеют одно общее решение, как показывает тривиальный пример р — 0, р=1. Справедлива следующая теорема: если функция ф(лг, у), определенная в области ®(лг, у),—дважды непрерывно дифференцируемый интеграл обоих дифференциальных уравнений
f(x, у, z, р, <?) = (), Q(x, у. z, р, 9) — 0, (8)
то ф удовлетворяет в @ и дифференциальному уравнению
[F(x, у, z, р, q), G(x, у, z, p. q)] = 0. (9)
Таким образом, необходимым условием одновременной разрешимости обоих уравнений (8) является наличие общего решения для трех уравнений (8), (9)1).
(б) Для проведения намеченного выше метода надо еще потребовать соответствующих условий для функций F, Н и О, Л/-(анало-гичных условию (9)), а также функциональной независимости трех уравнений (6) в том смысле, что функциональный определитель функции F, О, Н относительно z, и, v отличен от нуля. Тогда имеет место следующая теорема:
Пусть функции
2 = ф(лг, у), u = U(x,y), v = V(x, у) (10)
непрерывно дифференцируемы в области © (лг, у) и удовлетворяют там уравнениям (6). Далее, пусть для функций (10) скобки Якоби равны нулю:
[F, G] = 0, [/\Я] = 0, [G, Н] — 0 в ©(лг, у), (11)
') Уравнение (9), так же как и оба уравнения (8), отнюдь не будут новыми условиями. Если, например, G является первым интегралом уравнения (1), то, в силу 9.1, уравнение (4) выполняется даже тождественно для всех пяти переменных.
94 ГЛ. II. НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ |9.2
а в каждой подобласти области ©
(12)
следовательно, функция ф(лг, у) является общим интегралом уравнений (7) в области ®(х, у) и, в частности, интегралом дифференциального уравнения (1).
Предположения (11) и (12) сохраняются, если мы заменим функции G и Н на G — а, Н — Ь, где а, Ъ — произвольные постоянные. Функции (10) можно в этом случае получить путем решения уравнений
и, таким образом, в некоторой области получается полный интеграл гг = ф(х, у; а, Ь) уравнения (1).
(в) При применении (б) к решению конкретного дифференциального уравнения (1) сначала составляют характеристические уравнения (2) (которые пишутся так же, как в § 8, (6), с буквами р, q вместо и, V). Далее стараются, комбинируя эти уравнения, получить такие две непрерывно дифференцируемые функции G и Н, которые постоянны вдоль каждой характеристики или вдоль каждой характеристической интегральной полосы, т. е. получить два первых интеграла— собственных или специальных. При этом нужно обратить внимание на то, чтобы три функции F, G, Н были функционально независимы друг от друга. Оба первых уравнения (11) заведомо выполняются (тождественно по х, у, z, и, v) для собственных первых интегралов уравнения (1), а также и для специальных первых интегралов. Наконец, разрешают уравнения (6), или более общее (13), относительно z, и, v. Подстановкой найденной функции ? = ф(х, у) в уравнение (1) или проверкой выполнения всех остальных предположений (б) можно определить, является ли функция ? = ф(х, у) интегралом дифференциального уравнения (1).
Пример.
Для него характеристическими будут следующие уравнения: л:'(г) = *, у'(г) = и, z'(t) = 2uv, и'(г) = и, V (0 = v. Из них следуют соотношения
и' — у' = 0, v' — x' = 6, u'v — uv' = 0, а поэтому функции и — у, v — х и, если можно ограничиться областью, в которой v Ф 0, — являются непрерывно дифференцируемыми функциями,
(13)
(14)
v
©.31 § 9. МЕТОД ЛАГРАНЖА 95
постоянными вдоль каждой характеристики уравнения (14), т. е. эти три функции являются первыми интегралами. Уравнение (14) имеет, кроме того, очевидный первый интеграл г — uv. Любая непрерывно дифференцируемая функция от указанных первых интегралов снова есть первый интеграл. Если теперь положить
