Курс чистой математики - Харди Г.Х.
Скачать (прямая ссылка):
Мы уже видели, что не существует рационального числа д:, которое удовлетворяло бы этому уравнению. Квадрат всякого рационального числа либо меньше, либо больше двух. Мы можем поэтому разбить все положительные рациональные числа (рассмотрением которых мы пока ограничиваемся) на два класса, из которых один содержит все рациональные числа с квадратом меньшим двух, а другой — все рациональные числа с квадратом большим двух. Назовем первый из этих классов классом L, или нижним классом, или левым классом, а второй — классом R, или верхним классом, или правым классом. Очевидно, что каждое число из класса R больше всех чисел из
*) Имеется в виду уравнение из примера II. 3. (Прим. перев.)
16
Глава первая
класса L. Кроме того, нетрудно убедиться в том, что в классе L можно найти число, квадрат которого хотя и меньше двух, но отличается от двух сколь угодно мало, а в классе R — число, квадрат которого хотя и больше двух, но также отличается от двух сколь угодно мало. Действительно, если мы будем извлекать при помощи известного арифметического алгорифма квадратный корень из двух, то получим ряд рациональных чисел, а именно,
1, 1,4, 1,41, 1,414, 1,4142.....
квадраты которых
I1 1,96, 1,9881, 1,999396, 1,99996164, ...
все меньше двух, но все более и более приближаются к двум. Взяв достаточно большое число знаков, даваемых указанным алгорифмом, мы можем получить как угодно близкое приближение. Если же мы увеличим на единицу последнюю цифру в каждом из этих приближений, то получим ряд рациональных чисел
2, 1,5, 1,42, 1,415, 1,4143, ... ,
квадраты которых
4, 2,25, 2,0164, 2,002225, 2,00024449, ... все больше двух, но приближаются к двум как угодно близко.
Хотя предыдущее рассуждение, вероятно, покажется читателю убедительным, оно не имеет того строгого характера, который требуется в современной математике. Формальное доказательство может быть проведено следующим образом. В первую очередь, мы можем найти число вій число в /?, отличающиеся сколь угодно мало друг от друга. Ибо, как мы видели в п- 3, для любых двух данных рациональных чисел а и Ъ можно построить цепочку рациональных чисел, начинающуюся сан кончающуюся Ь, в которой любые два следующие друг за другом числа отличаются сколь угодно мало друг от друга. Возьмем теперь число х из L и число у из R и вставим между ними цепочку рациональных чисел, начинающуюся с х и кончающуюся у, в которой любые два следующие друг за другом числа отличаются друг от друга меньше, чем иа 8, где 8— любое положительное сколь угодно малое данное рациональное число, такое как, например, 0,01, или 0,0001, или 0,000001. В этой цепочке должно быть последнее число, которое принадлежит к L, и первое, которое принадлежит к R, и эти два рациональных числа отличаются друг от друга меньше чем на 8.
Теперь мы можем доказать, что в L можно найти число х и в R —¦ число у так, что 2— хг и уг—2 будут сколь угодно малыми, например
меньшими чем 8. Заменяя в проведенных выше рассуждениях 8 на —- 8, мы
видим, что X и у можно выбрать так, что у — х< -І 8; кроме того, мы,
очевидно, можем предположить, что я X я у меньше двух. Тогда
у + X < 4, у — Xі — (у - X) (у + X) < 4 СУ — х)< 8,
а так как х% < 2 и ys > 2, то 2 — хг и у% — 2 будут каждое заведомо меньше чем 8.
Действительные переменные
17
Далее следует, что в L не существует наибольшего, а в R — наименьшего числа. Пусть х— некоторое произвольное число из L, х2<^2. Пусть x2 = 2 — 8. Тогда мы можем найти в L такое число x1, что х\ отличается от двух меньше чем на 8, и, следовательно, х\^>х*, т. е. X1 ^>х. Таким образом, в L существуют числа, большие х; а так как х было произвольным числом из L, то отсюда следует, что ни одно число из L не может быть больше всех остальных. Следовательно, в L нет наибольшего числа и, аналогично, в R — наименьшего.
5. Иррациональные числа (продолжение). Итак, мы разбили положительные рациональные числа на два класса LhR так, что (1) каждое число из R больше каждого числа из L; (2) можно найти число в L и число в R, разность между которыми будет сколь угодно мала, и (3) L не содержит наибольшего, a R — наименьшего числа. Наше интуитивное представление о прямой линии, вопросы элементарной геометрии и элементарной алгебры требуют существования числа х, большего, чем все числа из L, и меньшего, чем все числа из R, и точки P на К такой, что P отделяет все точки, представляющие числа из L, от точек, представляющих числа из R.
Допустим на минуту, что такое число х существует и что над ним можно производить действия в соответствии с законами алгебры, так что, например, х9 имеет определенное значение. Тогда х4, не может быть ни меньше, ни больше двух. Ибо предположим, например, что x9 меньше двух. Тогда из предыдущего следует, что можно найти такое положительное рациональное число ?, что ?2 лежит между Xі и 2. Но это означает, что в L имеется число, большее х, что противоречит предположению о том, что x отделяет числа из L от чисел из R. Таким образом, х2 не может быть меньше двух и, аналогично, х2 не может быть больше двух. Поэтому мы вынуждены придти к заключению, что х2 = 2, т. е. что х есть то число, которое в алгебре обозначается j/2 . И это число не является рациональным, так как квадрат рационального числа не может быть равен двум. Это — простейший пример так называемого иррационального числа.
