Курс чистой математики - Харди Г.Х.
Скачать (прямая ссылка):
26 Глава первая
него класса ^—J- Затем мы определяем обратную величину отрицательного числа —а равенством _| = — -щ-. Наконец, мы определяем Y равенством
« _ 1
Теперь мы в состоянии применить ко всем действительным числам как рациональным, так и иррациональным, все идеи и методы элементарной алгебры. Мы не предполагаем здесь, естественно, вдаваться во все подробности. Значительно целесообразнее и интереснее сосредоточить наше внимание на некоторых специальных, но особенно важных классах иррациональных чисел.
Примеры VI. Доказать теоремы, выраженные следующими формулами: LaXl = IXa = o. 2. в X (I/o)= 1. 3. a? = ?a.
4. а(рт) = (вр)Т. 5. а (р + t) = ар + „т. 6. (в + р) t = bt + Pt.
7. |ар| = |а||Р|.
12. Число у/2. Вернемся на один момент к тому иррациональному числу, которое мы рассматривали в пп. 4—5. Там мы построили сечение с помощью неравенств х4, <^2, л;г^>2. Это было сечением в области только положительных рациональных чисел; но если мы заменим его (как было разъяснено в п. 8) сечением в области всех рациональных чисел, то мы можем это сечение или число обозначить через /2.
Классы, с помощью которых определяется произведение |/2 на самого себя, суть (аа'), где а и а' — положительные рациональные числа, квадраты которых меньше двух, и (AA'), где А и А' — положительные рациональные числа, квадраты которых больше двух. Эти классы исчерпывают все положительные рациональные числа, кроме одного, которым может быть только само число 2. Итак
(/2)3 ==/2 /2 = 2.
С другой стороны
(-/2)2 = (—/2)H /2) = /2 /2 = (/2)2 = 2.
Таким образом, уравнение х9 = 2 имеет два корня: / 2 и — / 2 . Аналогично мы могли бы рассматривать уравнения х* = 3, = 7, и соответствующие иррациональные числа / 3, — / 3, / 7, ... .
13. Квадратичные иррациональности. Число вида ± / а, где а — положительное рациональное число, не являющееся квадратом другого рационального числа, мы назовем чистой квадратичной ирра-
Действительные переменные
27
циональностью. Число вида а ± V ^> r^e а рационально, a / S — чистая квадратичная иррациональность, иногда называется смешанной квадратичной иррациональностью.
Оба числа а ± "J/r Ь являются корнями квадратного уравнения х* — 2ах + а* — Ь=0. Обратно, уравнение хг + 2рх + q = 0, где р и q рациональны и р% — g>0, имеет своими корнями две квадратичные иррациональности —р±\^р^— q.
Единственным классом иррациональных чисел, существование которых следовало требовать на основании геометрических рассмотрений п. 3, являются эти квадратичные иррациональности, чистые и смешанные, а также более сложные иррациональности, которые могут быть выражены формулами, содержащими повторное извлечение квадратных корней, как, например,
/ 2 + /2+FI +Vl +У? + /!.
Геометрическое построение отрезка, длина которого равна любому числу такого вида, может быть легко осуществлено, в чем читатель может без труда убедиться сам. Что только такие иррациональные числа могут быть построены методами Эвклида (т. е. с помощью только циркуля и линейки), будет доказано несколько позже (см. гл. II, Разные примеры, 22). Это свойство квадратичных ирра-циональностей делает их особенно интересными.
Примеры VII. 1. Дать геометрические построения для
V% /2 + 1^2, V2 + V2 -j-y~2 .
2. Квадратное уравнение ах*-\-2bx-\-c<=Q имеет два действительных корня1), если Ь% — ае> 0. Предположим, что а, Ь, с рациональны. Тогда все три коэффициента можно считать целыми, так как мы можем умножить все уравнение на общее наименьшее кратное их знаменателей.
Читателю известно, конечно, что корни этого уравнения равны {— b±V?^ac\ _
—--- . Легко построить эти длины геометрически, построив
сначала "J/^2— ас. Приведем другое, более элегантное, хотя и не столь прямое, построение а).
Проведем окружность единичного радиуса, диаметр PQ и касательные в концах этого диаметра.
1J Т. е. существуют два значения х, для которых ах* + 2bx + с = 0. Если Ъг — ас<0, то таких значений не существует. Читатель вспомнит, что в учебииках элементарной алгебры говорится, что такое уравнение имеет ,комплексные" корни. Смысл этого утверждения будет разъяснен в гл. III.
Когда 0і = ас, уравнение имеет только один корень. Обычно говорят, что и в этом случае уравнение имеет два корня, именно, два совпадающих корня, ио это только условность.
2) Это построение взято мной из книги Клейна: F. Klein, Vortrage uber ausgewahlte Fragen der Elementargeometrie (Leipzig, 1895).
28
Глава первая
а с
Отложим PP' =— 2 и QQ' =— учитывая знаки1) (фиг. 4).
Соединим P' и Q' прямой, которая пересекает окружность в точках M и N. Проведем PM и PN, которые пересекут QQ' в X и Y. Тогда QX и QY представляют корни уравнения по величине и по знаку.
P
Q' Г О X
Фиг. 4
Доказательство весьма просто, и мы оставляем его в качестве упражнения читателю. Другим, даже более простым, построением является следующее. Возьмем отрезок AB единичной длины. Проведем BC = — —
а
с
