Курс чистой математики - Харди Г.Х.
Скачать (прямая ссылка):
(см. п. 9), что -к- < I/ -у, мы должны, понимать под действительное
1
число .
22
Глава первая
Читатель должен, кроме того, обратить внимание на то обстоятельство, что точной форме определения „действительного числа", принятого нами, не приписывается никакой особой логической значимости. Мы определили „действительное число" как сечение, т. е. как пару классов. Мы могли бы с одинаковым успехом определить его как нижний или как верхний класс. В действительности, можно легко определить бесконечно много понятий, каждое из которых будет обладать свойствами действительных чисел. Что является существенным в математике — это то, чтобы математическим символам была бы приписана некоторая интерпретация. Обычно этим символам может быть придано много интерпретаций, и тогда с точки зрения математики безразлично, какую *із них мы примем.
Мы должны теперь различать три случая. Может быть, что все отрицательные рациональные числа принадлежат к нижнему классу, а нуль и все положительные рациональные числа — к верхнему. Это сечение мы описываем как действительное число нуль. Или же может быть, что нижний класс содержит некоторые положительные числа. Такое сечение называется положительным действительным числом. Наконец, может быть, что некоторые отрицательные числа принадлежат к верхнему классу. Такое сечение называется отрицательным действительным числом х).
Различие между нашим настоящим определением положительного действительного числа и определением, данным в п. 7, состоит в присоединении к нижнему классу нуля и всех отрицательных рациональных чисел. Пример отрицательного действительного числа можно получить, взяв в качестве свойства P п. 6: х -\-1 < 0, и в качестве Q: х -4- 1 Sa= 0. Это сечение, очевидно, соответствует отрицательному действительному числу — 1. Если бы мы за P взяли Xі < — 2, а за Q: дг3>—2, то мы получили бы отрицательное действительное число, которое не является рациональным.
9. Соотношения величины между действительными числами.
Ясно, что поскольку мы расширили наше понятие о числе, мы должны сделать соответствующие расширения наших понятий о равенстве, неравенстве, сложении, умножении и т. д. Мы должны показать, что эти понятия применимы к новым числам и что их расширение может быть осуществлено так, что останутся в силе все обычные законы алгебры и мы сможем оперировать с действительными числами так же, как мы это делали в п. 1 с рациональными числами. Для того чтобы показать это во всей полноте, потребовалось бы слиш-
1J Существуют также сечения, при которых каждое число принадлежит к нижнему классу, или каждое число принадлежит к верхнему классу. У читателя может возникнуть вопрос, почему мы не рассматриваем также н эти сечения как определяющие некоторые числа, которые можно было бы назвать действительным числом положительная бесконечность и действительным числом отрицательная бесконечность.
Логических возражений против этого нет, но практически это оказывается неудобным. Наиболее естественные определения сложения и умножения становятся неприменимыми. Кроме того, главным затруднением для начинающего изучать элементы анализа является умение определять точный смысл фраз, содержащих слово „бесконечность". Опыт показывает, что без необходимости не стоит увеличивать число таких фраз.
Действительные переменные
23
ком много времени и места, и поэтому мы ограничимся здесь некоторыми суммарными указаниями, систематическое развитие которых приведет читателя к полному изложению.
Мы будем обозначать действительные числа греческими буквами а, ?, "і, ... , рациональные числа, принадлежащие к их нижним и верхним классам, — соответствующими латинскими буквами а, А; Ь, В; с, С;____Сами классы мы будем обозначать через (а), (А), ....
Если а и ? — два действительных числа, то существуют три возможности:
(1) каждое а есть Ъ и каждое А есть В; в этом случае (а) совпадает с (Ь) и (Л) с (В);
(2) каждое а есть Ь, но не все А суть В; в этом случае (а) есть правильная часть (b) 1J и (В) — правильная часть (А);
(3) каждое А есть В, но не все а суть Ь.
Эти три случая графически изображены на фиг. 3. В случае (1) мы пишем a = ?, в случае (2) a<^? и в случае (3) a>?. Очевидно, что когда аир оба
рациональны, то эти определения от- -ц.-щ
вечают нашим представлениям о pa- а
венстве и неравенстве между рацио-__?_
нальными числами, которые мы при- а
нимаем за известные. Ясно также, что ?
всякое положительное число больше -1-+-?]
каждого отрицательного числа.
Теперь уместно определить отри- Фиг. 3
нательное число — а по данному положительному числу а. Допустим, что а иррационально. Если (а) и (А)—-классы, определяющие а, мы можем определить другое сечение в области рациональных чисел, помещая все числа — А в нижний класс, а все числа — а — в верхний. Определенное таким образом действительное число обозначим через —а. Аналогично определяем —-а, когда а отрицательно; в этом случае —а положительно. Ясно также, что —(—а) = а. Из двух чисел а и —а одно всегда положительно. То, которое положительно, мы обозначаем через |а| и называем модулем или абсолютным значением а.
