Курс чистой математики - Харди Г.Х.
Скачать (прямая ссылка):
Для такого начинания я не располагаю достаточным временем, и возможно, что это к лучшему, так как, вероятно, я написал бы значительно лучшую, но гораздо менее оригинальную книгу. Эта книга была бы не так полезна в качестве введения к руководствам по анализу, в которых теперь даже в Англии нет недостатка.
Ноябрь 1937 г. Г. X.
ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРА К ДЕВЯТОМУ ИЗДАНИЮ
В результате критических замечаний, сделанных проф. Г. Дэвен-портом (Н. Davenport), я изменил некоторые места в первых двух главах. В остальном текст остался без изменений, за исключением исправления нескольких незначительных ошибок и включения небольшого числа дополнительных ссылок.
Ноябрь 1943 г.
Г. X.
ГЛАВА I ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ПЕРЕМЕННЫЕ
1. Рациональные числа. Дробь/-=-™- , где р и q — положительные или отрицательные целые числа, называется рациональным числом. Мы можем предположить, не ограничивая общности наших рассмотрений, что р и q — взаимно простые числа, так как в противном случае дробь можно было бы сократить, а также, что q положительно, так как
_р___ —P —Р_Р — Я Ч ' — 1 1 '
К таким образом определенным рациональным числам мы можем, полагая р = 0, присоединить еще „рациональное число О".
Мы предполагаем, что читатель знаком с обычными арифметическими правилами действий над рациональными числами. Этих знаний вполне достаточно для решения следующих примеров.
Примеры I. 1. Если г и s — рациональные числа, то r-\-s, г — s, rs
и---также рациональные числа, если в последнем случае s=?-О (если
f
s=0, то — не имеет смысла). ' s '
2. Если 1, от и /г —положительные рациональные числа, причем от > п, то \(т* — па), 2\тп и X (от2 + nZ) ~ также положительные рациональные числа. Исходя из этого, показать, каким образом можно найти любое число прямоугольных треугольников, длины всех сторон которых рациональны.
3. Каждая конечная десятичная дробь представляет рациональное число, знаменатель которого не имеет других делителей, кроме 2 и 5. Обратно, всякое такое рациональное число может быть представлено, и притом единственным образом, как конечная десятичная дробь.
[Общая теория десятичных дробей будет рассмотрена в гл. IV.]
4. Все положительные рациональные числа могут быть записаны в виде последовательности следующим образом:
1_ 2 1 3 2 1 4 3_ 2_ 1
1 ' Г ' 2 • 1 ' 2 ' 3" ' T ' 2 ' 3 ' 4" '"' "
Показать, что p/q является членом этой последовательности с номером
IO
Глава первая
ГВ этой последовательности каждое рациональное число встречается
1 2
неограниченное число раз. Так, например, 1 встречается в виде у , -g,
о
_ ,____Мы можем, конечно, избежать этого, вычеркивая нз последователь-
3
ности каждое число, которое в ней уже встретилось в более простой форме.
Однако тогда определение номера члена — становится более сложным.]
Я
2. Представление рациональных чисел точками на прямой.
Во многих областях математического анализа представляется удобным пользоваться геометрическими иллюстрациями.
Применение геометрических иллюстраций не означает, конечно, что анализ каким то образом опирается на геометрию. Геометрические иллюстрации являются лишь иллюстрациями и ничем более, и применяются исключительно в целях достижения большей ясности изложения. В силу этого нет необходимости приводить здесь логический анализ понятий, известных из элементарной геометрии; можно удовлетвориться теми представлениями о них, которыми мы обладаем, не заботясь о том, насколько они близки к истине.
Предполагая, таким, образом, что мы знаем, что следует понимать под прямой линией, ее отрезком и длиною этого отрезка, рассмотрим прямую линию Л, неограниченно продолженную в обе стороны, и отрезок A0 A1 любой длины на ней. Назовем A0 началом, или точкой 0, a A1—точкой 1, и будем рассматривать эти точки как представляющие числа 0 и 1.
-1-,--1-1-1-1-
Д.,, A.f Д0 Я, Д~
Фаг. 1
Для того чтобы получить точку, представляющую положительное рациональное число г = ~ , выберем точку Аг так, чтобы
-г
\ Аг - Г'
где A0 Аг — отрезок прямой, расположенный по ту же сторону от A0, что и отрезок A0 A1. Направление от A0 к A1 мы всегда будем предполагать идущим слева направо, если, как на фиг. 1, прямая начерчена горизонтально. Для того чтобы получить точку, представляющую отрицательное рациональное число г = — s, естественно рассматривать длину как величину алгебраическую, принимающую положительные значения, если она измеряется в одном направлении (именно в направлении от An к A1), и отрицательные значения, если она измеряется в противоположном направлении, так что AB = — BA.
Действительные переменные
11
Тогда точку A_s, представляющую число г = — s, следует о пределить условием:
A0A _s = A_SAU = Л0Л,.
Таким образом, мы получаем точку Аг на прямой, соответствующую любому, положительному или отрицательному, значению рационального числа г, причем
АйАг — г • A6A1,
или, если мы возьмем Л0 A1 за единицу длины и будем писать A0A1-= 1, то
