Курс чистой математики - Харди Г.Х.
Скачать (прямая ссылка):
Предыдущие рассуждения почти дословно применимы и к другим уравнениям, кроме х2 = 2, например, к уравнению x2 = iV, где /V—-любое положительное целое число, не являющееся квадратом целого числа, или к уравнениям
х3 = 3, х3 = 7, x4= 23,
или же, как мы вскоре увидим, к уравнению х3 = Зх-]-8. Таким образом, мы приходим к убеждению, что существуют иррациональные числа x и точки P на А, которые удовлетворяют таким уравнениям, как приведенные выше, даже если соответствующие длины не могут
2 Г. Харди
18 Глава первая
быть построены элементарно-геометрическими методами (в противоположность длине У 2, которая может быть так построена).
Из учебников элементарной алгебры читатель несомненно знает, что
q _
корень уравнения лг?=я записывается в виде уп, пппп^я, н что смысл символов ^
определяется с помощью соотношений
«Р/г = {п^)Р, пр/я п-в'* = 1.
Он также легко восстановит, каким образом, в силу этих определений, известные ,правила показателей", как, например,
nrXns = я'+*, (пгУ = nrs
распространяются на случай любых рациональных г и s.
Читатель может теперь следовать по одному из следующих двух возможных путей. Он может, если пожелает, удовлетвориться предположением, что „иррациональные числа" вроде 2 , уЗ,... существуют и подчиняются алгебраическим законам, с которыми он знаком. Тогда он может избежать более отвлеченных рассмотрений следующих нескольких пунктов и перейти непосредственно к п. 13 и дальнейшим.
Если же он не склонен становиться на столь наивную точку зрения, то ему следует настойчиво порекомендовать с особым вниманием прочесть следующие пункты, в которых эти вопросы рассматриваются подробно.
Примеры III. 1. Найти разности между 2 и квадратами десятичных дробей, приведенных в п. 4 в качестве приближений к у 2.
2. Найти разности между 2 и квадратами дробей
1 ? 7_ 17 41 99 I » 2 » 5 » 12» 29» 70 *
3. Показать, что если у является хорошим приближением к |/~ 2, то
является еще лучшим приближением, и что ошибки этих двух приближений будут разных знаков. Применить этот результат к продолжению ряда приближений, приведенных в предыдущем примере.
4. Если X и у—два приближения к У 2, соответственно с недостатком и с избытком, и 2 — хг < 8, уг — 2 < 5, то у — х < 8.
5. Уравнение лг2 = 4 удовлетворяется прилг=2. Проверить, в какой мере рассуждения предыдущих пунктов применимы к этому уравнению (в этих рассуждениях число 2 надо всюду заменить на 4). [Если мы определим классы L, R по предыдущему, то они не содержат всех рациональных чисел. Рациональное число 2 является исключением, так как 22 не меньше и не больше четырех.]
Действительные переменные
19
6. Иррациональные числа (продолжение). В п. 4 мы рассматривали разбиение положительных рациональных чисел х на два таких класса, что для чисел одного класса х* <^2, а для чисел другого класса дг9^>2. Этот способ разбиения является частным случаем так называемого сечения в области рациональных чисел. Очевидно, что мы могли бы с одинаковым успехом построить сечение, при котором принадлежность чисел к классам определялась бы неравенствами лг3<^2 и дг3^>2 или дг4<^7 и Xі ^> 7. Попытаемся теперь установить наиболее общие принципы построения такого сечения в области положительных рациональных чисел.
Допустим, что PhQ означают два взаимно исключающих свойства, одним из которых должно обладать любое положительное рациональное число. Предположим, далее, что каждое число, обладающее свойством Р, меньше каждого числа, обладающего свойством Q. Так, например, P может быть свойством „х2<^2и, a Q — свойством пх<г^>21'. Тогда мы назовем нижним, или левым, классом L совокупность всех чисел, обладающих свойством Р, а верхним, или правым, классом R—'совокупность всех чисел, обладающих свойством Q. В общем случае оба класса существуют, но в отдельных случаях один из них может не существовать. Это будет иметь место, когда все числа обладают одним из двух свойств, например, когда P (или Q) является свойством быть рациональным, или положительным числом. В настоящий момент мы, однако, ограничимся случаями, когда оба класса существуют. Тогда, как в п. 4, доказывается, что мы можем найти число из L и число из R, разность между которыми будет сколь угодно мала.
В том частном случае, который мы рассматривали в п. 4, класс L не имел наибольшего, а класс R — наименьшего числа. Но, вообще, L может иметь наибольшее число, a R — наименьшее, и представляется весьма важным рассмотреть все возможные здесь случаи. Невозможно, чтобы одновременно в L существовало наибольшее и в R — наименьшее число. Ибо, если — наибольшее число из L
и г—наименьшее число из R, так что /<V, то -І-(/ —|— г) было бы
положительным рациональным числом, лежащим между / и г, т. е. не принадлежащим ни к L, ни к R, а это противоречит нашему предположению о том, что каждое положительное рациональное число принадлежит к одному из двух классов. Таким образом, остаются только три возможности, каждая из которых исключает две остальные. Либо (1) L содержит наибольшее число /, либо (2) R содержит наименьшее число г, либо (3) L не содержит наибольшего и R не содержит наименьшего числа.
